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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题(30%)1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是。

2、称为黎卡提方程,它有积分因子。

3、称为伯努利方程,它有积分因子。

4、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是。

5、形如的方程称为欧拉方程。

6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是。

7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为时,零解是稳定的,对应的奇点称为。

二、计算题(60%)1、3()0ydx x y dy -+= 2、sin cos2x x t t ''+=-3、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求4、32()480dy dy xy y dx dx -+= 5、求方程2dy x y dx =+经过(0,0)的第三次近 似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型与稳定性.三、证明题(10%)1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如的方程,称为变量分离方程,这里.)().(y x f ϕ分别为的连续函数。

2、 形如的方程,称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数,可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.03、如果存在常数使得不等式,0 L 对于所有称为利普希兹常数。

都成立,(L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R上关于y 满足利普希兹条件。

4、 形如的方程,称为欧拉方程,这里是常数。

,,21a a 5、设是的基解矩阵,是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解,则它的任一解可表为)(t γ。

一、 计算题40%1.求方程的通解。

26xy x ydx dy -= 2.求程xye x y dxdy =+的通解。

3.求方程t e x x x 25'6''=++的隐式解。

4.求方程)的第三次近似解。

、通过点(002y x dx dy+=二、 证明题30%1.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t 是方程组'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t22102⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ,在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程'(A 为⨯常数矩阵)的标准基解矩阵(即Φ(0)),证明: ()t Φ1-Φ(t 0)=Φ( t 0)其中t 0为某一值.常微分方程期终试卷(3)一 . 解下列方程(10%*8=80%) 2.dxdy =6x y 2y 3. 'y =22)12(-++y x y4.'y22y x + 6. {(2x +2y)}08. 已知f(x)⎰xdtt f 0)(=1≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

二. 证明题(10%*2=20%)9. 试证:在微分方程0中,如果M 、N 试同齐次函数,且≠0,则)(1yN xM +是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷(4)一、填空题1、( )称为变量分离方程,它有积分因子( )。

2、当( )时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程。

3、函数),(y x f 称为在矩形域R上关于y 满足利普希兹条件,如果( )。

4、对毕卡逼近序列,())()(1≤--x x k k ϕϕ。

5、解线性方程的常用方法有( )。

6、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可表为( )。

7、方程组x t A x )(='( )。

8、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵,则)(t φ和)(t ψ具有关系:( )。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部( )时,零解是稳定的,对应的奇点称为( )。

10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当( )时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为( )。

当( )时,零解是不稳定的,对应的奇点称为( )。

11、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵,则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解( )。

二、计算题求下列方程的通解。

1、1sin 4-=-x e dx dyy 。

2、1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y 。

3、求方程2y x dx dy+=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。

4、0=+'+''x x x 。

5、t e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型与稳定性:6、5,!--=+--=y x dt dyy x dt dx 。

三、证明题。

1、 1、设)(t φ为方程Ax x ='(A为n n ⨯常数矩阵)的标准基解矩阵(即))0(E =φ,证明)(t φ)()(001t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

常微分方程期终考试试卷(5)一. 填空题 (30分)1.)()(x Q y x P dx dy+=称为一阶线性方程,它有积分因子 ⎰-dxx P e )( ,其通解为 。

2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果 。

3. 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限,则有)()(x x n ϕϕ-≤ 。

4.方程22y x dx dy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点(0,0)的解的存在区间是 。

5.函数组tt t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 。

6.若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,)(t x -为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 。

7.若)(t Φ是xt A x )('=的基解矩阵,则向量函数)(t ϕ= 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解;向量函数)(t ϕ=是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ,它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21,那么矩阵)(t Φ= 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

9.满足 的点),(**y x ,称为驻定方程组。

二. 计算题 (60分)10.求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11.求方程0=-+x e dx dydx dy的通解。

12.求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dxdy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程t t x x 3sin 9''=+的通解。

14.试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ15.试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx 的奇点,并判断奇点的类型与稳定性。

三.证明题 (10分)16.如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=常微分方程期终考试试卷(6)三. 填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分)。

1、 当时,方程M()()0称为恰当方程,或称全微分方程。

2、称为齐次方程。

3、求dxdy ()满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程的连续解。

4、若函数f()在区域G 内连续,且关于y 满足利普希兹条件,则方程),(y x f dx dy=的解 ),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是。

6、方程组x t A x )(/=的称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵,则 。

8、满足的点(**,y x ),称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部时,零解是稳定的,对应的奇点称为。

二、计算题(共6小题,每题10分)。

1、求解方程:dxdy=312+++-y x y x2、 2、解方程: (221)(2)03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解 4、求解常系数线性方程:t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵,并计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421,为其中A e At6、试讨论方程组cy dt dyby ax dt dx=+=, (1)的奇点类型,其中为常数,且≠0。

三、证明题(共一题,满分10分)。

试证:如果Ax x t =/)是(ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么=)(t ϕ[]η)(0t t A e-常微分方程期终试卷(7) 一、选择题1.n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个.(A )n (B )n -1 (C )n +1 (D )n +2 2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的( )条件.(A )充分 (B )必要 (C )充分必要 (D )必要非充分3. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有( )个解.(A )一 (B )无数 (C )两 (D )三 4.方程xx y x y +-=d d ( )奇解.(A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个5.方程y x y =d d 的奇解是( ).(A )x y = (B )1=y (C )1-=y (D )0=y 二、计算题1'y 22y x +203. 0d d )2(=-+y x x y x4.1d d +=x y x y5.0d )ln (d 3=++y x y x x y三、求下列方程的通解或通积分 1.)1(d d 2y x x yy-=2.2)(d d x yx y x y -=3.x y x y2e 3d d =+四.证明1.设)(1x y ,)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y的解,且满足)(01x y )(02x y 0,0)(1≠x y ,这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续,),(0∞+-∞∈x .试证明:存在常数C 使得)(2x y )(1x y . 2.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中,已知)(x p ,)(x q 在),(∞+-∞上连续.求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切.常微分方程期终试卷(8)一、 填空(每空3分) 1、 称为一阶线性方程,它有积分因子 ,其通解为 。

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