各类基本初等函数涉及定义域值域、性质、零点问题等梳理(一)单调性与值域问题 （1）一次函数型例题1 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【解析】2,()22,ax ab x bf x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜ ∵函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∴00a b ≤且＞【小结】亦可对a 的符号进行分类讨论，一一排除。

（2）二次函数型例题2 函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增，求实数m 的取值范围【解析】22(2)3,()23(2)3,x m x x mf x x x m x x m x x m⎧+--≥⎪=-+-=⎨-++-⎪⎩＜∵函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增∴222222mm m m m -⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨+⎪≥⎪⎩变式1 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________ 【解析】()(4)f x f x =-恒成立，∴函数关于2x =对称，函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，∴函数在(],2-∞单调递减， 关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+，∴232222x x +->+-，解得212x x +>，即22110x x x ⎧<+⎨+≥⎩或()22110x x x ⎧<-+⎨+<⎩，解得112x -<<，解集为1(,1)2-例题3 函数1 ()2axf xx+=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a的取值范围【解析】1(2)1212()222ax a x a af x ax x x+++--===++++在(2)--∞，上为增函数易知120a-＜，得12a＞变式2设函数)(1)(Rxxxxf∈+-=，区间M=[a，b](a<b)，集合N={Mxxfyy∈=),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有几个？【解析】函数f（x）=(0)11(0)1xxx xxxxx⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩，图象如图所示由图象可知，y=f（x）在Ｒ上是连续单调递减函数。

而N=｛y|y=f（x），x∈M｝表示函数定义域为Ｍ＝［a，b］时其值域为Ｎ。

由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a<b矛盾，所以0个变式3若函数2+-=xbxy在区间()4,+ba()2-<b上的值域为()+∞,2，则=ba______________．【解析】+2+2+2==1+222x b x b byx x x---=+++（）（）2+20b b∵＜-，∴＜∴2+-=xbxy()2-<b在区间()4,+ba是减函数，∴462a byb a-++＜＜又∵值域为()+∞,2，∴4=226ab=-+，，即24,a b=-=-，∴116ba=例题4 已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． （1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【解析】（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m（m ∈N *）的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，可得9﹣3m ＞0，解得m ＜3，m ∈N *，可得m ＝1，2， 若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f （x ）＝x 3； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0， 可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ），即为a +1＜4﹣3a ，解得a ＜．【小结】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．例题5 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k∈∈-=的图像过点)2,2(． （1）求a k ,的值；（2）若函数()()2()1h x f x b f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．【解析】（1）211=⇒=-a a ；kx x f =)(过点)2,2(，则22)2(=⇒=k k（2）由（1）知2)(x x f =，则1)(12)(222+-+--=-++-=b b b x b bx x x h 当0<b 时，)(x h 在]2,0[单调递减，231)0()(max -=⇒=-==b b h x h ；当20≤≤b 时，（舍）或1-231)()(2max =⇒=+-==b b b b h x h当2>b 时，)(x h 在]2,0[单调递增，)(2333)2()(max 舍=⇒=-==b b h x h 综上，b 的值为2±．变式4 （I ）若33-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 （II ）若1122-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 （III ）若3355-m m --（+1）＜（32），试求实数m 的取值范围（IV ）若44-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 【解析】（I ）易知幂函数3y x =在R 上单调递增 ∴13-2m m +＜，解得23m ＜（II ）易知幂函数12y x=在定义域[)0,+∞上单调递增∴103-2013-2m m m m +≥⎧⎪≥⎨⎪+⎩＜，解得213m -<≤． （III ）（i ）当图象位于第一象限时，10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332m ＜＜（ii ）当图象位于第三象限时，10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解（iii ）当图象位于第一和第三象限时，10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞ （IV ）根据幂函数4y x =图象易知，距离y 轴越远，y 值越大∴13-2m m +＜，两边平方后转化为一元二次不等式，解得23m m ＜或＞4（5）指数函数型例题6 已知函数2251()3x x y ++=，求其单调区间及值域．【分析】要求复合函数的单调递增（减)区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增)区间和值域后，即可得到答案． 【解析】设22()25(1)44t x x x x =++=++则()t x 的单调递减区间为(-∞，1]-，递增区间为[1-，)+∞ 函数1()3t y =为减函数，故函数2251()3x x y ++=的单调递增区间为(-∞，1]-，递减区间为[1-，)+∞∴1081y< ∴值域为(0，1]81【小结】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．例题7 已知函数1()423x x f x +=-+． （1）当()11f x =时，求x 的值；（2）当[2x ∈-，1]时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】（1）当()11f x =，即142311x x +-+=时，2(2)2280x x --=，(24)(22)0x x ∴-+= 20222x x >+>，240x ∴-=，24x =，故2x =（2）2()(2)223x x f x =-+，令2()(21)2x f x ∴=-+ 当21x =，即0x =时，函数的最小值()2min f x = 当22x =，即1x =时，函数的最大值()3max f x =【小结】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．变式5 已知定义域为R 的函数2()2xxa f xb -=+是奇函数 （1）求a ，b 的值．（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明（3）若存在t R ∈，使22()(42)0f k t f t t ++-<成立，求k 的取值范围． 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解． （2）利用函数单调性的定义进行证明即可．（3）根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可． 【解析】（1）()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即1011a ab -=∴=+ (1)f f -=-（1）∴122122a ab b --=-++，即1122121122b b b b b =∴+=+∴=++ 经验证符合题意．1a ∴=，1b =（2）12(21)22()1121212x x x x xf x --++===-++++ ()f x 在R 上是减函数，证明如下：任取1x ，2x R ∈，且12x x <，121212*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 12x x <∴1222x x <，12()()0f x f x ∴->即12()()f x f x >()f x ∴在R 上是减函数．（3）22()(42)0f k t f t t ++-<，()f x 是奇函数，22()(24)f k t f t t ∴+<-又()f x 是减函数，222244k t t t k t t ∴+>-∴>-设g 2()4t t t =-，∴问题转化为()min k g t >()min g t g =（2）4=-，4k ∴>-【小结】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和应用，利用定义法，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．变式6 已知定义在R 上的奇函数()33x x f x a -=⨯+，a 为常数． （1）求a 的值；（2）用单调性定义证明()f x 在[0，)+∞上是减函数； （3）解不等式(1)(23)0f x f x -++<． 【分析】（1）根据(0)0f =解出a ；（2）设120x x >，计算12()()f x f x -并化简，只需证明12()()0f x f x -<即可； （3）利用单调性和奇偶性得出(23)(1)f x f x +<-，等价于231x x +>-，解出x ． 【解析】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即10a +=，解得1a =-．（2）()33x x f x -=-+，设120x x >，则211212()()3333x x x x f x f x ---=-+-， 120x x >，12x x ∴-<-，∴2133x x <，1233x x --<，即21330x x -<，12330x x ---<211212()()33330x x x x f x f x --∴-=-+-<，()f x ∴在[0，)+∞上是减函数． （3）()f x 是奇函数且在[0，)+∞上单调递减，()f x ∴在R 上是减函数．(1)(23)0f x f x -++<．(23)(1)(1)f x f x f x ∴+<--=-，231x x ∴+>-，解得23x>-． 【小结】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．变式7 设()31,()()()xf x c b a f c f a f b =-<<>>，，则下列成立的是（ ）.33.33.3A B .332C D 32c b b ac a c a >>+>+<【解析】由题，31,0()13,0xxx f x x <⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩，作出()y f x =的图像，如图所示，由 ()()()c b a f c f a f b <<>>，可知三点位置如图所示，即0c b a <<<， 又3xy =为增函数，故333c b a <<，,A B 错误；又 ()()f c f a >，即1331332c a a c ->-⇒+<，故选D 。