6.1 6.2 6.36.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2222222000000σσσσσσσa a a B试求其特征函数。

解：n 元正态分布的特征函数为}21e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξn i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑=='ni ijat t j 1μ()()),,,(2122322222121'++='n n tt t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑-=+=+1121122n i i i ni i a t t t σσ∴]21exp[)]21(exp[),,,(112112221][∑∑-=+=--=n i i i ni i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ，n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--=设有随机变量∑==ni i 1ξη，求η的特征函数。

解：易得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n ξξξη 21]111[2)1(][][11+===∑∑==n n i E E ni n i i ξη 协方差矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=n nn n n n n n n n321312211121B所以 ]111[]111['⋅⋅= B ηD =223n n +由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ)3,2,1(=i ，其协方差矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B其中，2332211σ===b b b ，试求：（1）[]321ξξξE（2）[]232221ξξξE（3）)])()([(223222221σξσξσξ---E 解：（1） 由教材467P 页可看出()()3,2,1,,,,321321=Φ-=∂Φ∂i t t t u t t t t i i()()()j i j i t t t u u t t t b t t t t t j i ij ji ≠=Φ+Φ-=∂∂Φ∂且3,2,1,,,,,,,3213213212，()()()()()()()3213211232133123213213211233212133213123213213,,,,,,,,,,,,t t t u u u u b u b u b t t t u u u t t t u b t t t u b t t t u b t t t t t t Φ-++=Φ-Φ+Φ+Φ=∂∂∂Φ∂ 其中：()321,,t t t Φ为零均值的三元正态分布随机变量321,,ξξξ的特征函数()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=Φ∑=3132121exp ,,k k k u t t t t∑==31i i ki k t b u令0321===t t t ，则()3,2,1,0,10,0,0===Φk u k ，所以[]()()0,,032132133213213=∂∂∂Φ∂====-t t t t t t t t t jE ξξξ（2）设()321123213312u u u u b u b u b N -++=，则()()3213213213,,,,t t t N t t t t t t Φ=∂∂∂Φ∂21333123321333123312321233122321222132312221133112321111231312123131222213332122231133221132132222u u b u u b u u b b b b b t Nu u b u u b u u b b b b b t Nu u b u u b u u b b b b b t Nb b b b b b b b b b b b t t t N---+=∂∂---+=∂∂---+=∂∂++++=∂∂∂∂()()()()()()()2313123322110132321223132123213212321321303213213023222132164,,,,,,,,,,,,321321321b b b b b b t N t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t t t t t -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂Φ∂+∂∂∂∂Φ∂+∂∂∂∂Φ∂+Φ∂∂∂∂=∂∂∂Φ∂=∂∂∂Φ∂========= []()()()()231312332211023222132162322214,,63216b b b b b b jt t t t t t jE t t t -=∂∂∂Φ∂=--===ξξξ(3)()()()[]()()()()[]()2121122221222121122122112221121222112121122122221214,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂()()()[]()()()()[]()3131132321332131132133113231121333113131133122321314,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂()()()[]()()()()[]()3232232322332232232233223232222333223232233222322324,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂[]()21222110222121422212,21b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ []()21333110232131423212,31b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ []()22333220232232423222,32b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ()()()[][][][][]()()()22321321222313126232221423222321222122322212232222212224b b b b b b E E E E E E E E ++--=-+++++-=---σσξξξσξξξξξξσξξξσξσξσξ另一种方法是利用6.7设有三维正态分布的随机矢量T ξ=[1ξ,2ξ,3ξ]的概率密度为f []ξ(x 1,x 2,x 3)=C )}422(21exp{2321222121x x x x x x x +-+--(1)证明经过线性变换η=A ξ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---100721021411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321ξξξ 得矢量T η=[321,,ηηη]，则321,,ηηη是相互统计独立的随机变量。

(2)求C 值。

解：2331222121422x x x x x x x +-+-=[x 1,x 2,x 3]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----401015.015.02[x 1,x 2,x 3]T B 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----401015.015.02,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡75.15.015.07212461,B =61 (1)32124111ξξξη--= 37222ξξη-=33ξη=E[21ηη]=E[23713221321412241317221ξξξξξξξξξξ+-+--]=0 同样可得：E[31ηη]=0，E[32ηη]=0 所以321,,ηηη是相互统计独立的随机变量 (2) C=212)2(1Bnπ=213361()2(1π=ππ616.11 设有零均值平稳实高斯随机过程)(t ξ，其功率谱密度为其它频率范围）(0)()(2{)(0f f f P S f S ∆<∆==ξ如果对该过程每隔f∆21秒作一次抽样，得到样本值),0(ξ ),22(),21(f f ∆∆ξξ （1） 写出前面n 个样本点)(t ξ所取值))21(),0((fn ∆-ξξ 的n 维联合概率密度。

（2） 定义随机变量∑-=∆=102(1n k n fkn ξη 求概率}{aP P n >η的表示式，α为常数，α>0。

解：（1） 首先由功率谱密度求出自相关函数，参见P345，图5-5结论。

τπτπττππτξf f P f f f S R ∆∆=∆∆⋅∆=2)2sin()2sin()(0 )(t ξ是零均值的、平稳实高斯过程均值向量μ=0，协方差阵1,1,0,2(2(cov[,)(-=∆∆==⨯n k i fkf i b b B ik n n ik ξξ其中 由功率谱密度的表达式，我们可以看到，该信号最大频率分量为f ∆，而对该过程的采样频率取为2f ∆，这样所得样本值),0(ξ 22(),21(ff ∆∆ξξ为相互统计独立的随机变量，其协方差阵B 为对角阵，P R b ii ==)0(ξ，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P P B 所求的n 元正态分布的联合概率密度为)}()(21exp{)2(1),,,(121221][μμπξ-'--⋅=-X B X Bx x x f n n=}21exp{)2(112212∑=-⋅ni i n Px Pπ （2） 记∑-=∆=10)2(1n k n f k n ξη=ξa '，其中]111[nn na ='。

根据线性变换前后的关系，得∑-==∆=1002([1n k n f k E n E ξη，22nP Ba a ='=ησ所以，}2exp{2)(222Pn x Pn x f -⋅=πηdx x f dx x f P P P Pn ⎰⎰+∞-∞-+=>αηαηαη)()(}{=6.12. 设有图题6-12所示的接收机。