第5章 计算机控制系统模拟化设计
5.2.1 冲激不变法
1．设计原理 冲激不变法的基本思想是：数字滤波器产生的脉冲响应 序列近似等于模拟滤波器的脉冲响应函数的采样值。 设模拟控制器的传递函数为
n Ai U ( s) D( s ) E ( s) i 1 s ai
在单位脉冲作用下输出响应为
双线性变换的特点：
(1)将整个S平面的左半面变换到Z平面的单位圆内，因而 没有混叠效应。
(2)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)。 (3)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
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5.2.5 频率预畸变双线性变换法
上述的双线性变换，将S平面的虚轴变换到Z平面的 单位圆周，因而没有混叠现象。但是在模拟频率Ω和离散 频率ω之间却存在非线性关系。
1 e Ts 1 e Ts / 2 e Ts / 2 2 s s s 2/T
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4．用适当的方法将D(s)离散化成D(z)。 5．将D(z)化成差分方程。 D(s)的工程设计法：二阶工程设计法 假设图5.2所示的连续系统为一个二阶系统，其闭环传 递函数可表示为
得到
2 aT a tg T 2
D(s, a)
2．将 D(s, a) 变换为D(z)，
D( z ) k D( s, a )
s
2 (1 z 1 ) T (1 z 1 )
D ( z ) 1 求出。 k为放大系数，利用 lim z 1
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例5.10 已知模拟控制器 解：作预畸变
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5.2.2 加零阶保持器的Z变换法
这种方法就是用零阶保持器与模拟控制器串联，然 后再进行Z变换离散化成数字控制器，即
1 e Ts D( z ) D( s ) s
加零阶保持器Z变换法的特点：
1．若D(s)稳定，则D(z)也稳定。
i 1
aiT
z
1
D( s)
D( s)
a sa
解：
D( z ) D( s )
a 1 e aT z 1
aT
u(k ) ae(k ) e 控制算法为：
u(k 1)
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2．特点及应用范围 冲激不变法的特点是： (1)D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 (2)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 (3)D(z)不能保持D(s)的频率响应。 (4)D(z)将ω s的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的 频率，因而出现了混叠现象。 其应用范围是：连续控制器 D(s) 应具有部分分式结构或 能较容易地分解为并联结构。 D(s) 具有陡衰减特性，且 为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少 频率混叠影响，从而保证 D(z) 的频率特性接近原连续控 制器D(s)。
2．D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
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5.2.3 差分变换法
模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用 差分近似。常用的一阶差分近似方法有两种：前向差分 和后向差分 。 1．后向差分变换法 对于给定
U (s) 1 D( s ) E ( s) s
z e Ts e e
Ts 2 Ts 2
取
e
Ts 2
1
Ts 2
e
Ts 2
1
Ts 2
得
因此
Ts 2 z Ts 1 2 1
2 1 z 1 s T 1 z 1
即
D ( z ) D( s )
s
2 (1 z 1 ) T (1 z 1 )
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其补偿的基本思想是：在D(s)未变成D(z)之前，将D(s)的断 点频率预先加以修正（预畸变），使得预修正后的 D(s) 变 换成D(z)时正好达到所要求的断点频率。 用预畸变双线性变换法设计的步骤如下： 1．将D(s)的零点或极点(s+a)以a′代替a，即作预畸变
( s a) ( s a )
u0(t) T u0*(t)
1 e s
Ts
u(t)
图5.3 零阶保持器的信息传递
对于离散信号u0*(t)它的频谱函数为
1 U ( j ) Βιβλιοθήκη 0 ( j jk s ) T k
* 0
其中为采样角频率。
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对于零阶保持器的频率特性为
T 1 e jT sin(T / 2) j Gh ( j ) T e 2 j T / 2
a
D( s)
a sa
，求数字控制器D(z)。
2 aT tg T 2
D( z ) k a 2 1 z 1 2 aT tg T 1 z 1 T 2
a D( s, a) 2 aT s tg T 2
lim k
z 1
a 2 1 z 2 aT tg 1 T 1 z T 2

当ω T取值0～π 时，Ω 的值为0～∞。这意味着，模 拟滤波器的全部频率响应特性被压缩到离散滤波器的 0<ω T<π 的频率范围之内。这两种频率之间的非线性特 性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸变， 可以采用预畸变的办法来补偿频率特性的畸变。
2 T tg T 2
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其微分方程为
du (t ) e(t ) dt
用差分代替微分，则 两边取Z变换得
du (t ) u (k ) u (k 1) e( k ) dt T
(1 z 1 )U ( z) TE( z)
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即
D( z )
U ( z) 1 E ( z ) 1 z 1 T
W ( s) Y ( s) 1 R( s) T2 s 2 T1 s 1
当
T12 时，阻尼系数ξ T2 2
=0.707，其性能最好，则得
1
W ( s)
1 2 2 T1 s T1 s 1 2
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其开环传递函数为
Gk ( s ) D( s )G0 ( s )
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r(t)
e(t) T
e*(t)
D ( z)
u*(t) T
G(z ) ZOH G 0 ( s)
y(t)
图5.1离散闭环控制系统 r(t)
e(t)
D ( s)
u(t)
G 0 ( s)
y(t)
图5.2 模拟闭环控制系统
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模拟控制器D(s)与数字控制器D(z)之间的等效离散原理和 等效条件： 设有模拟信号 u0(t)，零阶保持器的输入为 u0*(t)，输出为 u(t)，如图5.3所示。
第5章 计算机控制系统模拟化设计
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5.1 概述
数字控制器的模拟化设计法是先将图5.1所示的计算机 控制系统看作模拟系统，如图5.2所示。针对该模拟系统， 就可以采用连续系统设计方法设计闭环控制系统的模拟 控制器，然后用本章介绍的离散化方法将此其离散化成 数字控制器，即转换成图5.1所示的计算机控制系统。 一种间接的方法
可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同，由此可得如下等 效代换关系 ： 1 z 1
s T
1 z 1 T
便可得到D(z)，即
D( z ) D( s )
s
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后向差分变换法的特点： (1)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)。 (2)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
G0 ( s ) k 1s 1
，试按
G( s) D( s)G0 ( s)
设 T1 2 1
TI kT1 2k 1
则
D( s )
1 2k 1 s
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5.2 模拟控制器的离散化方法
从信号理论角度来看，模拟控制器就是模拟信号滤 波器应用于反馈控制系统中作为校正装置。滤波器对控 制信号中有用的信号起着保存和加强的作用，而对无用 的信号起着抑制和衰减的作用。模拟控制器离散化成的 数字控制器，也可以认为是数字滤波器。 必须保证离散后的数字控制器与等效前的连续控制器有 近似相同的动态特性与频率响应特性
T sin(T / 2) j U ( j ) e 2 U 0 ( j ) T / 2
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当信号U0(jω )的截止频率ω max<<ω s时，则 所以
U ( j ) e
jT 2
sin(T / 2) 1 T / 2
U 0 ( j )
上式说明，两者唯一的差别仅仅是由零阶保持器产 生的相位移 e jT / 2 ，如果能补偿这一相位移或者大大减 小这一相位移对系统的影响（如前置滤波、超前校正 等），就可以保证离散控制器和模拟控制器具有完全一 致或极接近的频率特性，即实现二者的完全等效。 若ω max / ω s <1/10时，其滞后相角大约为18˚，于 是，就有 U ( j ) U0 ( j ) 即
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模拟化设计方法的一般步骤如下： 1．根据性能指标要求和给定对象的G0(s)，用连续控制理 论的设计方法，设计D(s)。 2．确定离散系统的采样周期。 3．在设计好的连续系统中加入零阶保持器。检查由于零 阶保持器的滞后作用，对原设计好的连续系统性能是否 有影响，以决定是否修改D(s)。 为了简便起见，零阶保持器的传递函数可近似为：