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算法设计与分析演示稿 纪玉波制
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作(C)
迄今为止我们已经知道的所有可证的难解问题 分成刚才叙述的两种类型，它们或者是“不可判定 的”，或者是“非确定型”难解的。但是，大多数在 实际中遇到的在表面上看来难解的问题是可判定的， 并且可以用非确定型计算机在多项式时间内求解。因 此，要证明这些问题的表面上的难解性，至今所研究 过的证明方法都还不够有力。
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2、可证的难解问题
• 最早证出的难解性问题结果是经典的图灵不可判定性。 四十多年前，图灵证明某些问题困难到“不可判定的” 程度，即根本不可能给出解这些问题的算法。例如， 他证明不可能给出一个算法，当任意给定一个计算机 程序和这个程序的输入时，该算法可以判定当把这个 程序应用于这个输入时最终是否停机[Turing，1936]。 现在已经知道还有各种其它问题也是不可判定的，这 些问题包括有限表示群的平凡问题[Rabin，1958]，希 尔伯特第十问题（整数多项式的可解性） [Matijasevic，1970］等。因为不可能用任何算法， 当然更不可能用多项式时间算法解这些不可判定问题， 所以它们的确是在特别强的意义下难解的。
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作(C)
关于计算机模型的选择可以作类似的注释。至今 研究过的所有实际的计算机模型，例如单带图灵机， 多带图灵机以及随机存取机（RAM）都是相对于多项式 时间复杂性等价的，人们可以指望任何其它“合理的” 模型都享有这种等价性。这里所说的“合理的”概念 在本质上是指在单位时间内可以完成的工作量有一个 多项式界限。例如，不能认为具有完成任意多道并行 运算能力的模型是“合理的“，而且也确实不存在一 合计算机具有这种能力。无论如何，只要我们规定只 采用实际的计算机标准模型，难解的问题类就不受使 用的具体模型的影响。因而我们可以根据方便与否来 选择计算机模型，而不会妨碍结果的使用。 “合理的” 计算机模型也称为是“确定型”（deterministic)的 计算机模型。
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另一方面，如果多项式时间算法满足对运算时 间更严格得多的限制，就往往可以作出这种预言。 虽然可以认为时间复杂性为n100或1099n2的算法在实 际中不大可能快速运算，但是自然提出的多项式可 解的问题大多数可用2次，或者在最坏的情况下用3 次多项式时间算法求解，而且在多项式中不包含特 别大的系数，可以认为满足这些限制的算法是“可 证地有效”算法。正是这种特别需要的性质使我们 优先考虑用多项式时间算法解决问题。
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遗憾的是，像这样的例子太少了。虽然对于很多问 题都知道指数时间算法，但是只有少数几个被认为在实 际中是很有用的。甚至上面提到的那几个成功的指数时 间算法也没有使研究人员停止继续寻找这些问题的多项 式时间算法的努力。实际上，这些算法的真正成功产生 了一种猜疑，认为它们不知怎么地抓住了这些问题的关 键性的性质，对这些性质的仔细研究可能给出更好的方 法，至今在解释这种成功方面几乎毫无进展，也没有一 种方法能够事先预言给定的指数时间算法在实际中能否 快速运算。
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这样一来，“难解的”定义在理论上给出了重要的 一般原则。即问题的难度在本质上不依赖于用来决定时 间复杂性的具体编码方案和计算机模型。
能够用实际的计算机标准模型在多项式时间算法 （Polynomial time algorithm)内求解的问题称为P类 问题。
算法设计与分析-05NP完全问题 -一些重要的概念..
不过，有些指数时间算法在实际中可能十分有用。 作为定义，时间复杂性是一种最坏情况的度量。时间复 杂性为2n的算法仅仅表示至少有一个规模为n的问题实 例需要这么多的运算时间，而大多数问题实例可能实际 上需要远比这个少得多的时间。有几个著名的算法就是 这种情况。已经证明线性规划的单纯形算法具有指数时 间复杂性[Klee and Minty，1972］，但是在实际中它 计算得很好，给人留下了深刻印象。同样，背包问题的 分支界限算法虽然也具有指数时间复杂性，但是它是一 种非常成功的算法，使得许多人认为背包问题已经很好 地解决了。
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第一个难解的“可判定”问题是在六十年代初获 得的，它是Hartmanis和Stearns［1965]的复杂性 “谱系”工作的一部分，但是，这些结果只包括一些 “人工制造的”问题，它们被专门构造成具有所需要 的性质。直到七十年代初，Meyer和 Stockmeyer[1972］，Fischer和Rabin［1974］以及 其他人终于成功地证明某些“自然的”可判定问题是 难解的，这些问题包括自动机理论、形式语言理论以 及数理逻辑中以前研究过的各种问题。实际上，他们 的证明表明甚至用“非确定型”（nondeterministic) 计算机模型也不可能在多项式时间内解这些问题，这 种“非确定型”计算机模型具有执行无限多个独立的 并行计算序列的能力。这种“不合理的”计算机模型 在NP完全性理论中起着重要的作用。
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3、NP完全问题
• 可以用“非确定型”计算机通过多项式时间算法求解 的问题称为“NP类”问题。理论工作者们一方面继续 寻找更有力的方法来证明问题的难解性，同时又在努 力研究就难度而言各种问题相互联系的方式。发现问 题之间的这种相互联系常常可以给算法设计人员提供 有用的信息。证明两个问题相关的基本方法是通过给 出一个构造性变换把第一个问题的任一实例映射到第 二个问题的一个等价的实例，从而把第一个问题“归 约”为第二个问题。这样的变换提供了一个手段，把 解第二个问题的任何算法转变成解第一个问题的相应 的算法。