称此常数为数列的极限。
1
极限的定义
如果对于任意给定的正数 0 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,
不等式
xn a
都成立 ,则称 数列 xn 收敛于 a ,常数 a 称为数列 xn
的极限 ,
记为lim n
xn
a,或xn
a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
0
说明 (1) 给定后， 的选择并不唯一， 依赖于 x0 与 。
(2) 此极限的定义中，0 | x x0 | ，指出 x x0，有两层含义：
I. x0 可以不在 f ( x) 的定义域内； II. x0 可以属于 f ( x) 的定义域，但此时极限值与 f ( x) 在 x0
处的函数值无关。
第二 章 极限与连续
§2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 极限的运算法则和存在准则 §2.4 无穷小与无穷大 §2.5 函数的连续性 §2.6 闭区间上连续函数的性质
一. 数列
§2.1 数列的极限
定义 按照一定顺序排成的一 列实数
x1, x2 , x3 , , xn ,
称为数列，记为 { xn}．其中 xn 称为第 n 项或通项， 通项 xn 的表达式称为通项公式．
例如 (1) 2, 4, 8, ,2n, 表示为{2n}； 通项 xn 2n；
(2)
1,
1 2
,
1 3
,
,
1 n
,
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
{ 1 }； n
xn
1； n
{ xn}； xx22kk1k，0，k 1, 2,
整标函数 数列是定义在正整数集 N 上的一个函数， 若记此函数为 f (n)，并记 xn f (n), 则数列即为 x1 f (1), x2 f (2), , xn f (n),. 记为 { xn}．
注. (i) 具有任意性； (ii) 正整数 N 依赖于 .
数列极限的几何 意义
y
a a
a
lim
n
xn
a，
12345 N n
x
现象：数列{ xn}最多只有有限项不在 a的 邻域内。
§2.2 函数的极限 2.2.1 自变量趋向无穷大时函数的极限
自变量趋向无穷大的方式有三种 （1）x + 表示 x 沿 x 轴正向趋向无穷远； （2）x 表示 x 沿 x 轴负向趋向无穷远处； （3）x 表示 | x |→ + .
数列的几何表示 xOy坐标面上一列以正整数为横坐标的点： (1, x1 ), (2, x2 ), , (n, xn ),
y
1234
n
x
定义 (1) 如果数列 { xn } 满足 x1 x2 xn ,
则称数列 { xn } 是单调增加数列；
（2）如果数列 { xn } 满足 x1 x2 xn ,
则称数列 { xn } 是单调减少数列．
单调增加数列与单减少数列统列统称为单调数列。
注：如果 xn xn1 ( Байду номын сангаасn xn1 )，则称数列为严格单调增加 (减少)数列。
定义 对于数列 { xn}，若能找到一个数 M 0， 使对一切 n 恒成立 | xn | M，称 { xn} 为有界数列， 数 M 即为其一个界．
问题:如何描述 函数 y f ( x)在 x 的过程中, 对应的函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
y sin x x
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时 , f ( x) sin x 无限接近于 0. x
问题 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
定理1 lim f ( x) A x
水平渐近线
lim f ( x) A 且 lim f ( x) A.
x
x
若有 lim f ( x) A，或 lim f ( x) A，或 lim f ( x) A,
x
x
x
则称直线 y A 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
2
2.2.2 自变量趋向有限值时函数的极限 自变量 x 趋向于 x0 的方式有三种：
（1）x →x0：表示 x 以任意方式趋向于x0，即 x x0 0
（2）x →x0+：表示 x 以 x > x0 的方式趋向于x0. （3）x →x0：表示 x 以 x < x0 的方式趋向于x0.
问题 :如何描述 在 x x0 的过程中 ,对应函数 值 f ( x)无限 趋近于 确定值 A.
1. 函数极限定义
设 f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 ，A 为实数，
若 0， 0，当 0 | x x0 | 时，有 | f ( x) A | ，
则称 A 为 f ( x) 当 x x0 时的极限，记为
lim f ( x) A 或
xx
f ( x) A ( x x0 )
x
几何解释 0， X 0，当 | x | X 时，
对应的函数值落在 y A 与 y A 之间。
A
X
y f (x)
y
0
Xx
另两种情形: 10. x 情形 : lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当 x X 时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x 0, X 0, 使当 x X 时, 恒有 f ( x) A .
不是有界的数列称为 无界数列．
例如 {(1)n} 是有界数列.
例1
证明 ：数列
xn
n (1)n1 n
是有界数列.
解
由于
xn
n (1)n1 n
1 (1)n1 n
2
M
所以数列 { xn } 是有界数列.
二. 数列极限
观察：
{1 1} n
n
1
sin n { 2}
n
0
n
结论：当n ，数列的项趋近于一个常数。
定义 设 f ( x) 在 (, a) (a, ) (a 0) 内有定义， 若存在常数 A， 0， 正数 X a， 当| x | X 时, 成立 | f ( x) A | ，则称 A 为 f ( x) 当 x 时的极限， 记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x )。
2. 单侧极限 例如 考虑 f ( x) | x | 当 x 0 时的极限。 x 当 x 0 时，f ( x) 1，此时 x 0 时极限为 1；
当 x 0 时，f ( x) 1，此时 x 0 时极限为 1。