人教版八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷(解析版)一、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)1.如图1,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90º,D、E 分别在 BC、AC 边上,连接 AD、BE 相交于点 F,且∠CAD=12∠ABE.(1)求证:BF=AC;(2)如图2,连接 CF,若 EF=EC,求∠CFD 的度数;(3)如图3,在⑵的条件下,若 AE=3,求 BF 的长.【答案】(1)答案见详解;(2)45°,(3)4.【解析】【分析】(1)设∠CAD=x,则∠ABE=2x,∠BAF=90°-x,∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x,进而得到∠BAF =∠AFB,即可得到结论;(2)由∠AEB=90°-2x,进而得到∠EFC=(90°-2x)÷2=45°-x,由BF=AB,可得:∠EFD=∠BFA=90°-x,根据∠CFD=∠EFD-∠EFC,即可求解;(3)设EF=EC=x,则AC=AE+EC=3+x,可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股定理列出方程,即可求解.【详解】(1)设∠CAD=x,∵∠CAD=12∠ABE,∠BAC=90º,∴∠ABE=2x,∠BAF=90°-x,∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°,∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x,∴∠BAF =∠AFB,∴BF=AB;∵AB=AC,∴BF=AC;(2)由(1)可知:∠CAD=x,∠ABE=2x,∠BAC=90º,∴∠AEB=90°-2x,∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x,∴∠EFC=(90°-2x )÷2=45°-x ,∵BF =AB ,∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ,∴∠EFD=∠BFA=90°-x ,∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x )-(45°-x)=45°;(3)由(2)可知:EF =EC ,∴设EF =EC =x ,则AC=AE+EC=3+x ,∴AB=BF=AC=3+x ,∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ,∵∠BAC =90º,∴222AB AE BE +=,∴222(3)3(32)x x ++=+,解得:11x =,23x =-(不合题意,舍去)∴BF=3+x=3+1=4.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理,用代数式表示角度和边长,把几何问题转化为代数和方程问题,是解题的关键.2.如图,在等腰直角ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=︒,点D 是ABC △ 内一点,连接 AD ,AE AD ⊥ 且 AE AD =,连接 BD 、CE 交于点 F .(1)如图 1,求BFC ∠的度数;(2)如图 2,连接ED 交 BC 于点 G ,连接 AG ,若 AG 平分BAD ∠,求证:2EAC EDF ∠=∠;(3)如图 3,在(2)的条件下,BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ,DH AM ⊥,连接 HN ,若ADN ∆的面积与DHN 的面积差为 6,6DF =,求四边形 AMFE 的面积.【答案】(1)∠BFC =90°;(2)见解析;(3)20AMFE S =四边形.【解析】【分析】(1)根据SAS 证明ABD ACE ≌,所以ABD ACF ∠=∠,所以90BFC BAC ∠=∠=︒.(2)根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒,在AB 上截取AK AD =,连接KG ,由AKG ADG ≌,180BKG AKG ∠+∠=︒,可证得BKG KBG ∠=∠,GB GK DG ==,所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=, 因为2CAE BAD α∠=∠=,所以2CAE EDF ∠=∠.(3)根据题意和(2)中结论先证明AD AN AE ==,过 A 作BF 、CE 垂线,垂足分别为R 、T , 连接AF ,证明ANR AET ≌,所以AR AT =,然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =,过点H 作HP FM ⊥,垂足为P ,所以HP PM DP ==,设DP x =,DR y =,所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=,226DF x y =+=,求出x ,y ,不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4,然后可得20AMFE S =四边形.【详解】(1)因为ABC 是等腰直角三角形,所以AB AC =,90BAC DAE ∠=︒=∠, 所以BAD CAE ∠=∠,因为AD AE =,所以ABD ACE ≌,所以ABD ACF ∠=∠,所以90BFC BAC ∠=∠=︒.(2)因为AD AE =,90DAE ∠=︒,所以45AED ACG ∠=︒=∠,所以CAE CGE ∠=∠,由(1)知:BAD CAE ∠=∠,所以BAD CGD ∠=∠,设2BAD CGD α∠==∠, 所以1802BGD α∠=︒-,所以180BAD BGD ∠+∠=︒, 所以180ABG ADG ∠+∠=︒, 因为AG 平分BAD ∠,所以BAG DAG α∠=∠=, 在AB 上截取AK AD =,连接KG ,因为AG AG =,所以AKG ADG ≌,所以AKG ADG ∠=∠,DG KG =, 因为180BKG AKG ∠+∠=︒,所以BKG KBG ∠=∠,所以GB GK DG ==,所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=, 因为2CAE BAD α∠=∠=,所以2CAE EDF ∠=∠.(3)由(2)知:BAG DBG α∠=∠=,因为90BAC ∠=︒,45ABC ∠=︒,所以45ABN α∠=︒-,因为2BAD α∠=,所以45ADN α∠=︒+,因为902DAN α∠=︒-,所以45AND ADN α∠=︒+=∠,所以AD AN =,因为AD AE =,所以AE AN =, 过 A 作BF 、CE 垂线,垂足分别为R 、T , 连接AF ,因为45ACE ABD α∠=∠=︒-,2CAE α∠=,所以45AET ANR α∠=︒+=∠, 因为AE AN =,所以ANR AET ≌,所以AR AT =,所以FA 平分BFT ∠, 所以45AFN AFE ∠=∠=︒,因为45AMN ∠=︒,所以AFM AMF ∠=∠,所以AF AM =,所以FR MR =,因为DR RN =,所以DM FN =,过点H 作HP FM ⊥,垂足为P , 因为45AMN ∠=︒,90DHM ∠=︒,所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒,所以HP PM DP ==,设DP x =,所以2DM FN x ==,设DR y =,所以2DN y =,所以2MR x y =+,因为45MAR ∠=︒,所以2AR MR x y ==+,所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=,因为226DF x y =+=,所以3x y +=,所以2y =,1x =,因为AF AF =,ANF AEF ∠=∠,所以AEF ANF ≌,所以FN EF =,因为AR AT =,所以AEF ANF ADM S S S ∆∆∆==,因为142ADM S DM AR ∆=⋅⋅=, 所以20ADM ADN ANF AEF AMFE S S S S S ∆∆∆∆=+++=四边形.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点,解题的难点在于学会添加常用辅助线,构造三角形全等解决问题,属于中考压轴题.3.(1)如图①,D 是等边△ABC 的边BA 上一动点(点D 与点B 不重合),连接DC ,以DC 为边,在BC 上方作等边△DCF ,连接AF ,你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论;(2)如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;(3)Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF,BF′,探究AF,BF′与AB有何数量关系?并证明你的探究的结论;Ⅱ.如图④,当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.【答案】(1)AF=BD,理由见解析;(2)AF与BD在(1)中的结论成立,理由见解析;(3)Ⅰ. AF+BF′=AB,理由见解析,Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′,理由见解析.【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得BC=AC,∠BCA=60°,DC=CF,∠DCF=60°,从而得∠BCD=∠ACF,根据SAS证明△BCD≌△ACF,进而即可得到结论;(2)根据SAS证明△BCD≌△ACF,进而即可得到结论;(3)Ⅰ.易证△BCD≌△ACF(SAS),△BCF′≌△ACD(SAS),进而即可得到结论;Ⅱ.证明△BCF′≌△ACD,结合AF=BD,即可得到结论.【详解】(1)结论:AF=BD,理由如下:如图1中,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠BCA=60°,同理知,DC=CF,∠DCF=60°,∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即:∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中,∵BC ACBCD ACFDC FC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴BD=AF;(2)AF与BD在(1)中的结论成立,理由如下:如图2中,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠BCA=60°,同理知,DC =CF ,∠DCF =60°,∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ,即∠BCD =∠ACF ,在△BCD 和△ACF 中,∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩,∴△BCD ≌△ACF (SAS ),∴BD =AF ;(3)Ⅰ.AF +BF ′=AB ,理由如下:由(1)知,△BCD ≌△ACF (SAS ),则BD =AF ;同理:△BCF ′≌△ACD (SAS ),则BF ′=AD ,∴AF +BF ′=BD +AD =AB ;Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF =AB +BF ′,理由如下:同理可得:BCF ACD ∠=∠′,F C DC =′,在△BCF ′和△ACD 中,BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′, ∴△BCF ′≌△ACD (SAS ),∴BF ′=AD ,又由(2)知,AF =BD ,∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′,即AF =AB +BF ′.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理,三角形全等的判定和性质定理,熟练掌握三角形全等的判定和性质定理,是解题的关键.4.(1)问题发现.如图1,ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形,点A 、D 、E 均在同一直线上,连接BE .①求证:ADC BEC ∆∆≌.②求AEB ∠的度数.③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________.(2)拓展探究.如图2,ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形,90ACB DCE ∠=∠=︒,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为DCE ∆中DE 边上的高,连接BE .①请判断AEB ∠的度数为____________.②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________.(直接写出结论,不需证明)【答案】(1)①详见解析;②60°;③AD BE =;(2)①90°;②2AE BE CM =+【解析】【分析】(1)易证∠ACD =∠BCE ,即可求证△ACD ≌△BCE ,根据全等三角形对应边相等可求得AD =BE ,根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小;(2)易证△ACD ≌△BCE ,可得∠ADC =∠BEC ,进而可以求得∠AEB =90°,即可求得DM =ME =CM ,即可解题.【详解】解:(1)①证明:∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形,∴AC CB =,CD CE =,又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒,∴ACD ECB ∠=∠,∴()ADC BEC SAS ∆∆≌.②∵CDE ∆为等边三角形,∴60CDE ∠=︒.∵点A 、D 、E 在同一直线上,∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒,又∵ADC BEC ∆∆≌,∴120ADC BEC ∠=∠=︒,∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒.③AD BE =ADC BEC ∆∆≌,∴AD BE =.故填:AD BE =;(2)①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形,∴AC CB =,CD CE =,又∵90ACB DCE ∠=∠=︒,∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠,∴ACD ECB ∠=∠,在ACD∆和BCE∆中,AC CBACD ECBCD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴EACD BC∆∆≌,∴ADC BEC∠∠=.∵点A、D、E在同一直线上,∴180********ADC BEC CDE∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴1351354590AEB CED∠=︒-∠=︒-︒=︒.②∵CDA CEB∆∆≌,∴BE AD=.∵CD CE=,CM DE⊥,∴DM ME=.又∵90DCE∠=︒,∴2DE CM=,∴2AE AD DE BE CM=+=+.故填:①90°;②2AE BE CM=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键.5.已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)先连接AD,构造全等三角形:△BED和△AFD.AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线,所以有∠CAD=∠BAD=45°,AD=BD=CD,而∠B=∠C=45°,所以∠B=∠DAF,再加上BE=AF,AD=BD,可证出:△BED≌△AFD,从而得出DE=DF,∠BDE=∠ADF,从而得出∠EDF=90°,即△DEF是等腰直角三角形;(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF 是等腰直角三角形.【详解】解:(1)连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,∴AD ⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE ≌△ADF (SAS ),∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF 为等腰直角三角形.(2)连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE (SAS ),∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角,并且等于底边的一半,还利用了全等三角形的判定和性质,及等腰直角三角形的判定.6.如图1,在ABC 中,90BAC ∠=︒,点D 为AC 边上一点,连接BD ,点E 为BD 上一点,连接CE ,CED ABD ∠=∠,过点A 作AG CE ⊥,垂足为G ,交ED 于点F .(1)求证:2FAD ABD ∠=∠;(2)如图2,若AC CE =,点D 为AC 的中点,求证:AB AC =;(3)在(2)的条件下,如图3,若3EF =,求线段DF 的长.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)6【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠,90EFG CED ∠=︒-∠,然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论;(2)根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠,进而可得AF AD =,BFA CDE ∠=∠,然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆,可得AB CE =,进一步即可证得结论;(3)连接AE ,过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ,连接CH ,如图4.先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒,进而可得AE AH =,然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ,进一步即可推出90CHD ∠=︒,过点A 作AK ED ⊥于K ,易证△AKD ≌△CHD ,可得DK DH =,然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ,问题即得解决.【详解】(1)证明:如图1,90BAC ∠=︒,90ADB ABD ∴∠=︒-∠, AG CE ⊥,90FGE ∴∠=︒,90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠,180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠,CED ABD ∠=∠,2FAD ABD ∴∠=∠;(2)证明:如图2,90AFD CED ∠=︒-∠,90ADB ABD ∠=︒-∠,CED ABD ∠=∠,AFD ADF ∴∠=∠,AF AD ∴=,BFA CDE ∠=∠,∵点D 为AC 的中点,∴AD=CD ,AF CD ∴=,ABF ∴∆≌CED ∆(AAS ),AB CE ∴=, CE AC =,AB AC ∴=;(3)解:连接AE ,过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ,连接CH ,如图4. 90BAC ∠=︒,BAE CAH ∴∠=∠,设ABD CED α∠=∠=,则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-,CA CE =,45AEC EAC α∴∠=∠=︒+,45AED ∴∠=︒,45AHE ∴∠=︒,AE AH ∴=,AB AC =,∴△ABE ≌△ACH (SAS ),135AEB AHC ∴∠=∠=︒,90CHD ∴∠=︒,过点A 作AK ED ⊥于K ,90AKD CHD ∴∠=∠=︒,AD CD =,ADK CDH ∠=∠,∴△AKD ≌△CHD (AAS ),DK DH ∴=,∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==,,FK DK EK HK ∴==,3DH EF ∴==,6DF ∴=.【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识,考查的知识点多、综合性强、难度较大,正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键.7.如图,在等边ABC ∆中,线段AM 为BC 边上的中线.动点D 在直线AM 上时,以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆,连结BE .(1)求CAM ∠的度数;(2)若点D 在线段AM 上时,求证:ADC BEC ∆≅∆;(3)当动点D 在直线AM 上时,设直线BE 与直线AM 的交点为O ,试判断AOB ∠是否为定值?并说明理由.【答案】(1)30°;(2)证明见解析;(3)AOB ∠是定值,60AOB ∠=︒.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =,DC EC =,,60ACB DCE ∠=∠=︒,由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠,根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆;(3)分情况讨论:当点D 在线段AM 上时,如图1,由(2)可知ACD BCE ≅∆∆,就可以求出结论;当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2,可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论;当点D 在线段MA 的延长线上时,如图3,通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论.【详解】(1)ABC ∆是等边三角形,60BAC ∴∠=︒.线段AM 为BC 边上的中线,12CAM BAC ∴∠=∠, 30CAM ∴∠=︒.(2)ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=︒,ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠,ACD BCE ∠∠∴=.在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆;(3)AOB ∠是定值,60AOB ∠=︒,理由如下:①当点D 在线段AM 上时,如图1,由(2)可知ACD BCE ≅∆∆,则30CBE CAD ∠=∠=︒,又60ABC ∠=︒,603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒,ABC ∆是等边三角形,线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠,即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒.②当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2,ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=︒,ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠,ACD BCE ∠∠∴=,在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆,30CBE CAD ∴∠=∠=︒,同理可得:30BAM ∠=︒,903060BOA ∴∠=︒-︒=︒.③当点D 在线段MA 的延长线上时,ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=︒,60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒,ACD BCE ∠∠∴=,在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆,CBE CAD ∴∠=∠,同理可得:30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒,∵30BAM ∠=︒,903060BOA ∴∠=︒-︒=︒.综上,当动点D 在直线AM 上时,AOB ∠是定值,60AOB ∠=︒.【点睛】此题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定及性质,等边三角形三线合一的性质,解题中注意分类讨论的思想解题.8.定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段....叫做这个三角形的三分线.(1)图①是顶角为36︒的等腰三角形,这个三角形的三分线已经画出,请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种);(2)图③是顶角为45︒的等腰三角形,请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数.(3)ABC 中,30B ∠=︒,AD 和DE 是ABC 的三分线,点D 在BC 边上,点E 在AC 边上,且AD BD =,DE CE =,设c x ∠=︒,则x 所有可能的值为_________.【答案】(1)见详解;(2)见详解;(3)20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线,再作底边的平行线,即可得到三分线;(2)过底角定点作对边的高,形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形,然后再构造一个等腰直角三角形,即可.(3)根据题意,先确定30°角然后确定一边为BA ,一边为BC ,再固定BA 的长,进而确定D 点,分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边,画出示意图,列出关于x 的方程,即可得到答案.【详解】(1)如图所示:(2)如图所示:(3)①当AD=AE 时,如图4,∵DE CE =,c x ∠=︒,∴∠EDB=x °,∴∠ADE=∠AED=2x °,∵AD BD =,∴∠BAD=∠B=30°,∴30+30=2x+x ,解得:x=20;②当AD=DE 时,如图5,∵DE CE =,c x ∠=︒,∴∠EDB=x °,∴∠DAE=∠AED=2x °,∵AD BD =,∴∠BAD=∠B=30°,∴30+30+2x+x=180,解得:x=40.③当AE=DE 时,则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-, ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°,∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是:20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用,分类讨论,画出图形,是解题的关键.9.如图,在△ABC 中,AB =AC =2,∠B =40°,点D 在线段BC 上运动(D 不与B 、C 重合),连接AD ,作∠ADE =40°,DE 交线段AC 于E 点.(1)当∠BDA =115°时,∠BAD =___°,∠DEC =___°;(2)当DC 等于多少时,△ABD 与△DCE 全等?请说明理由;(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA 的度数;若不可以,请说明理由.【答案】(1) 25,115;(2)当DC =2时,△ABD ≌△DCE ,理由见解析;(3)可以;当∠BDA 的度数为110°或80°时,△ADE 的形状是等腰三角形.【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理,将已知数值代入即可求出BAD ∠,根据平角的定义,可求出EDC ∠的度数,根据三角形内和定理,即可求出DEC ∠.(2)当AB DC =时,利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆,即可得出2AB DC ==. (3)假设ADE ∆是等腰三角形,分为三种情况讨论:①当AD AE =时,40ADE AED ∠=∠=︒,根据AED C ∠>∠,得出此时不符合;②当DA DE =时,求出70DAE DEA ∠=∠=︒,求出BAC ∠,根据三角形的内角和定理求出BAD ∠,根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可;③当EA ED =时,求出DAC ∠,求出BAD ∠,根据三角形的内角和定理求出ADB ∠.【详解】(1)在BAD 中,40B ∠= ,115BDA ∠=,1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.AB AC =,40B ∠=,40B C ∴∠=∠=,1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒.故答案为:25,115;(2)当2DC =时,ABD DCE ∆≅∆.理由如下:40C ∠=,140EDC DEC ∴∠+∠=︒,又40ADE ∠=,140ADB EDC ∴∠+∠=︒,ADB DEC ∴∠=∠.在ABD △和DCE ∆中,B C ∠=∠,ADB DEC ∠=∠,当AB DC =时,()ABD DCE AAS ∆≅∆,2AB DC ∴==;(3)AB AC =,40B C ∴∠=∠=︒,分三种情况讨论:①当AD AE =时,40ADE AED ∠=∠=︒,AED C ∠>∠,∴此时不符合; ②当DA DE =时,即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒,1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒,1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒;1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒;③当EA ED =时,40ADE DAE ∠=∠=︒,1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒,180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒;∴当110ADB ∠=︒或80︒时,ADE ∆是等腰三角形.【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性较强.10.(1)操作:如图,在已知内角度数的三个三角形中,请用直尺从某一顶点画一条线段,把原三角形分割成两个等腰三角形,并在图中标注相应的角的度数(2)拓展,△ABC 中,AB=AC ,∠A=45°,请把△ABC 分割成三个等腰三角形,并在图中标注相应的角的度数.(3)思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点.分别连接BP 和PQ 把△ABC 分割成三个三角形.△ABP ,△BPQ ,△PQC 若分割成的这三个三角形都是等腰三角形,求∠C 的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)∠C所有可能的值为10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】(1)在图1、图2、图3中,分别作AB、AB、BC的垂直平分线,根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可;(2)分别作AB、BC的垂直平分线,交于点O,连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形,根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可;(3)分PB=PA、AB=AP、BA=BP时,PB=PQ、BP=BQ、QB=QP,PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况,根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】(1)在图1、图2、图3中,分别作AB、AB、BC的垂直平分线,如图1,∵∠ABC=23°,∠BAC=90°,∴∠C=90°-23°=67°,∵MN垂直平分AB,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形,∴∠BAD=∠ABC=23°,∴∠ADC=2∠ABC=46°,∵∠BAC=90°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°,∴∠DAC=∠C,∴△DAC是等腰三角形,同理:图2中,∠ADC=46°,∠DAC=88°,∠C=46°,△ABD和△ACD是等腰三角形,图3中,∠BCD=23°,∠ADC=46°,∠ACD=46°,△BCD和△ACD是等腰三角形.(2)作AB、BC的垂直平分线,交于点O,连接OA、OB、OC,∵点O是三角形垂直平分线的交点,∴OA=OB=OC,∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形,∵AB=AC,∠BAC=45°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∴AD是BC的垂直平分线,∴∠BAD=∠CAD=22.5°,∴∠OBA=∠OAB=22.5°,∠OCA=∠OAC=22.5°,∴∠OBC=∠OCB=45°.(3)①如图,当PB=PA,PB=PQ,PQ=CQ时,∵∠A=30°,PB=PQ,∴∠ABP=∠A=30°,∴∠APB=120°,∵PB=PQ,PQ=CQ,∴∠PQB=∠PBQ,∠C=∠CPQ,∴∠PBQ=2∠C,∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°,解得:∠C=40°.②如图,当PB=PA,PB=BQ,PQ=CQ时,∴∠PQB=2∠C,∠PQB=∠BPQ,∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C,∴180°-4∠C+∠C=120°,解得:∠C=20°,③如图,当PA=PB,BQ=PQ,CQ=CP时,∵∠PQC=2∠PBQ,∠PQC=12(180°-∠C),∴∠PBQ=14(180°-∠C),∴14(180°-∠C)+∠C=120°,解得:∠C=100°.④如图,当PA=PB,BQ=PQ,PQ=CP时,∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°,∴∠C=80°;⑤如图,当AB=AP,BP=BQ,PQ=QC时,∵∠A=30°,∴∠APB=12(180°-30°)=75°,∵BP=BQ,PQ=CQ,∴∠BPQ=∠BQP,∠QPC=∠QCP,∴∠BQP=2∠C,∴∠PBQ=180°-4∠C,∴∠C+180°-4∠C=75°,解得:∠C=35°.⑥如图,当AB=AP,BQ=PQ,PC=QC时,∴∠PQC=2∠PBC,∠PQC=12(180°-∠C),∴∠PBC=14(180°-∠C),∴14(180°-∠C)+∠C=75°,解得:∠C=40°.⑦如图,当AB=AP,BQ=PQ,PC=QP时,∵∠C=∠PQC=2∠PBC,∠C+∠PQC=75°,∴∠C=50°;⑧当AB=AP,BP=PQ,PQ=CQ时,∵AB=BP,∠A=30°,∴∠ABP=∠APB=75°,又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C,且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°,∴3∠C=75°,∴∠C=25°;⑨当AB=BP,BP=PQ,PQ=CQ时,∵AB=BP,∴∠BPA=∠A=30°,∵∠PBQ=∠PQB=2∠C,∴2∠C+∠C=30°,解得:∠C=10°.⑩当AB=BP,BQ=PQ,PQ=CQ时,∴∠PQC=∠C=2∠PBQ,∴12∠C+∠C=30°,解得:∠C=20°.综上所述:∠C所有可能的值为10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.。