思考4：辗转相除直到何时结束？ 主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转 向第②步继续循环执行。 如此循环，直到得到结果。
1.3.2
秦九韶算法
探究三、秦九韶算法
• 思考1,在初中,我们是如何求一个多项式的 值的?
• 思考2,已知一个n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0当x=x0时，除 了用代入法求解外是否还有更好的方法呢？
秦九韶算法的基本思想
思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，求 f(5)的值. 分析：把5代入多项式，若先计算各项的值， 然后再相加，那么一共要做： 4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算.
思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大 公约数是多少？你是怎样得到的？
由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简 单的找出它们的最大公约数呢？
思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251 与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有 什么关系？ 我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与 2146的公约数和2146与1813的公约数相等. 思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这 两个数的最大公约数吗？ 8251=6105×1+2146， 1813=333×5+148， 6105=2146×2+1813， 333=148×2+37， 2146=1813×1+333， 148=37×4+0. 定义:所谓的辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的 数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成 新的数对,继续上面的除法, 直到大数被小数除尽,则这时 较小的数就是原来两个数的最大公约数
思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步.
开始
程序框图 INPUT m，n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL PRINT m END 输入m，n 求m除以n的余数r m=n
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 24 （3）（72，168） （4）（153，119） 17
二、更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的 “更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数， 即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.” 意思是： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否 都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把差 与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作， 直到所得的数相等为止，则这个等数或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
例1：用更相减损术求98与63的最大公约数. 因为63不是偶数，所以
98-63=35， 63-35=28， 35-28=7，
28-7=21，
21-7=14， 14-7=7.
所以最大公约数是7.
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93 的最大公约数. 辗转相除法：
168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6. 更相减损术: 168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3.
探究一,辗转相除法
思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数 的最大公约数的呢?
例、求18与24的最大公有质因数2除， 9 12 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 短除法 得：18和24最大公约数是：2×3＝6
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
n=r r=0
r=0？ 否 是 输出m
结束
思考6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗 转相除法求两个正整数m、n的最大公约数的程序框 图和程序分别如何表示？
开始 输入m，n n=r m=n 求m除以n的余数r 是 r≠0 ？ 否 输出m 结束
INPUT WHILE
m ，n r<>0
r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT END m
例3 用更相减损术求80与36的最大公 约数.
例4 求325，130，270三个数的最大公约数.
因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130 的最大公约数是65.
因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所 以65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约数是5.
思考2:另一种做法是先计算x2的值，然后依 次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的 值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这 时一共做了：
4次乘法运算，5次加法运算.
1.3
算法案例
1.3
算法案例
1.3.1 辗转相除法和更相减损术 1.3.2 秦九韶算法 1.3.3 K进制化十进制
1.3.4 十进制化K进制
1.3.1 辗转相除法 和更相减损术
复习 1.研究一个实际问题的算法，主要从哪几方面展开？
算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.
2.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？ 顺序结构、条件结构、循环结构 3.在程序设计中基本的算法语句有哪几种？ 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句