第一讲 找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论．解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是(1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论;（3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 开篇小练习:1、有一列数,观察规律,并填写后面的数，－5,－２,１,4，___＿__＿,_＿__＿＿__，__＿_＿___。

２、有一组数为:1111111,,,,,,234567---- …找规律得到第11个数是＿＿＿______,第ｎ个数是＿＿__＿＿＿_＿＿3、小凡在计算时发现,11×11＝121,111×111=１2321,1１11×１11１=１２34３２1,他从中发现了一个规律。

你能根据他所发现的规律很快地写出 １11111111×11１111１11=＿_____吗? 答案是___＿______＿__＿___________＿＿。

４、四个同学研究一列数:1，－3，5，-7,9，-11，１3，……照此规律,他们得出第n 个数分别如下,你认为正确的是 （ ）A.２ｎ－1 Ｂ.1-2n Ｃ.(1)(21)nn -- D.1(1)(21)n n +--5、如图，是用积木摆放一组图案，观察图形并探索:第五个图案中共有 块积木，第n 个图形中共有块积木．6、观察数列１,1,２，3,5,８，x,2１，y,……,则２x-y=_＿_＿＿_＿＿____7、观察下列各式:1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256,======== …，请你根据上述规律，猜想108的末位数字是_________. ８、观察下列各式：3211=3323332333321231236123410+=++=+++=… … 猜想:333312310________+++⋅⋅⋅+=典型例题:一、数字排列规律题1、下面数列后两位应该填上什么数字呢？ﻪ2 3 5 ８ 12 17 __ __ ﻪ ２、请填出下面横线上的数字。

1 123 5 ８ _＿＿_ 213、有一串数，它的排列规律是1、2、３、2、３、4、３、4、５、4、5、6、……聪明的你猜猜第1００个数是什么?4、有一串数字 3 6 10 15 21 ___ 第6个是什么数？５、观察下列一组数的排列：１、2、3、4、3、2、1、2、3、4、３、２、1、…,那么第２00５个数是( ）. A ．1ﻩﻩB ．2ﻩC ．3ﻩD ．46、10０个数排成一行,其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和,如果这1００个数的前两个数依次为１,0，那么这100个数中“0”的个数为 ＿＿_____＿_个．7、一组按规律排列的数:41,93，167,2513,3621，…… 请你推断第9个数是 . 8、已知下列等式: ① 13=１２; ② 1３+２３=32; ③ １3＋2３+3３=6２； ④ １3＋23＋33＋４3=102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是 .９、观察下列各式；①、１2＋1＝１×２ ；②、22+２＝2×3； ③、32+3＝3×4 ;………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 。

10、观察下面的几个算式:①、1+2＋1=４; ②、１＋２＋3+２+1=9；③、1+2+３+4+3＋2+１=１6；④、1+2＋3+４＋5+4+3+2+1＝25,……根据你所发现的规律，请你直接写出第ｎ个式子11、观察下列一组数的排列:1、2、３、４、3、2、1、２、3、4、３、２、1、…，那么第2005个数是( )A ．1ﻩﻩﻩB ． 2Ｃ.３ﻩ ﻩ D.41２、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……,中间用虚线围的一列,从上至下依次为1、５、13、２5、……,则第１０个数为___＿____。

第１行 1 第2行 -2 3图1 图2 图321题图第３行 －4 ５ -6第4行 7 －8 9 -10 第５行 11 -1２ １3 -１4 １51３、已知一列数：1,―2,3,―4,5，―6,７,… 将这列数排成如上所示的形式:按照上述规律排下去，那么第１0行从左边数第5个数等于 ． １4、观察下列各算式：1＋3=4＝２的平方,1+3＋5＝９=3的平方，1＋３＋5＋7＝１6=4的平方…ﻪ 按此规律（1）试猜想：１+3+5+7＋…＋2005+２007的值？（2)推广： 1+3＋５+７+9+…+（2n-1)+（2n ＋1)的和是多少 ？ﻪ 二、几何图形变化规律题1、观察下列球的排列规律（其中●是实心球,○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ………… 从第１个球起到第20０5个球止，共有实心球 个.2、如图，在图1中,互不重叠的三角形共有4个,在图２中,互不重叠的三角形共有7个,在图3中,互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中,互不重叠的三角形共有 个（用含n 的代数式表示)。

3、(２0０5年宁夏回族自治区)“◆”代表甲种植物，“★”代表乙种植物，为美化环境,采用如图所示方案种植. 按此规律第六个图案中应种植乙种植物 __＿__＿__＿ 株.★ ★ ★ ★★ ★ ★ ◆ ◆ ◆★ ★ ◆◆ ★ ★ ★ ◆ ★ ★ ★ ◆ ◆ ★ ★ ◆ ◆ ★ ★ ★ ★ 图 1 ★ ★ ★ ◆ ◆ ◆图 2★★★ ★(第四题)4、已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n (n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分n =3n =4n =5……点为顶点向外作小等边三角形(如上图所示）．(1)当n = 5时，共向外作出了个小等边三角形（2)当n = ｋ时，共向外作出了个小等边三角形(用含ｋ的式子表示).5、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案,则第ｎ个图案需要用白色棋子枚（用含有n的代数式表示）………６、观察下面图形我们可以发现：第1个图中有１个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有1４个正方形，按照这种规律下去的第５个图形共有__＿____＿个正方形。

7、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子.ﻫﻫ观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了块石子.８、观察数表,根据其中的规律,在数表中的内填入适当的数。

１1 -1１ -2 11 -3 3 11 -4 ６－4 11 －5 -10 5 -11 －6 -20 15 －６ 1三、根据已知等式探究规律１、已知下列等式：①１３=12；② 13＋23=３2；③１3＋23＋3３=62；④13＋2３+33＋43＝10２ ;由此规律知，第⑤个等式是．2、观察下面的几个算式：１＋2+1=4，１＋２+3+2＋1=9，1+2+3+４+3+2+1=1６,1＋2+３+4＋５+4+３+2+1=２5，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果:1＋2+3+…＋9９+100+９9+…+3+2+1=__＿＿3、已知下列等式：①13=1２②13+23＝32③1＋２3+3３=６２④１３＋23+33＋4３=1０2……由此规律可知,第⑤个等式是４、观察下列等式：21=2；22=４;２３=8；2４=16;25=32;2６＝6４；27＝1２８;……用你发现的规律确定22０0７的个位数学数字是分析:观察计算结果的末位数字,依次按2,4，8，６循环出现。

而2007÷４=５01……３，故220０7的个位数字与23的个位数字相同,所以２的个位数字是 819．研究下列等式，你会发现什么规律？1×３+1＝4＝222×4+1=９=3２3×5+1=16=４24×6+１=25＝5２…4 5 6 7 89 10 11 12 1314 15 16 17 1819 20 21 22 2324 25 26 27 28d c ba 设n 为正整数,请用n 表示出规律性的公式来.5、探索规律 可写成 , 可写成可写成,可写成（1）把这个规律用含有n 的式子写出来； (2）计算9５2.6、…，若符合前面式子的规律，则。

10102+=⨯+=b a b a a b四、与数阵有关的问题1、(下图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数 则： （1）、a 、ｃ的关系是:＿_＿______＿_＿____ _＿； (2）、当a+b ＋c ＋ｄ=32时，a=____ ______.2、上面给出的是2０04年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数,请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）日 一 二 三 四 五 六1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31A.69ﻩ ﻩ B ．５4 ﻩ Ｃ．27 D.403、将连续的自然数１至３6按下图的方式排成一个正方形阵列,用一个小正方形任意圈出其中的9个数,设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为 。

4、上图的数阵是由全体奇数排成（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？（2)在数阵图中任意作一类似(1)中的平行四边形框,这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由;（3)这九个数之和能等于2006吗?,10１7呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能,请说出理由。

五、与视图、展开图有关的问题1、如图是几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数,则这个几何体的主视图为（ ）2、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是( ）A 、 ７ Ｂ、 6 Ｃ、 ５ D 、 43、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如上图，图中有规律12 21A DBC 图(12)锦似程前你祝是一个正方体的平面展开图，若图中“锦”为前面，“似”为下面,“前”为后面,则“祝”表示正方体的 面．4、下图可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点,则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是（A)、7 （Ｂ)、8 （C)、9 (D)、 10５、如图，1P 是一块半径为１的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ,记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出2S = ;3S = ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥。