2 2
x

2
1 sin x lim cos x x
2
x dx 1 e dx x 1 4. 0 x 0 2x arctan(e ) |0 arctane x 4 e e e 1
1
5. 证明： 方程 x 4 3 x 1 0在[1， 1]内有实根
解： 特征方程为 解得特征根为
3r 2 4r 2 0
2 2i r1,2 3
故原方程的通解为：
2 2 y e C1 cos x C2 sin x 3 3
2 x 3
x x2 xn n 三、求极限lim （ 8分） x 1 x 1 x x2 xn n 解 lim x 1 x 1 1 2 x nx n1 0 lim 1 x 1 n( n 1) 1 2 n 2 2 n x x x n 或 lim x 1 x 1 x 1 x2 1 xn 1 lim x 1 x 1 n( n 1) n 1 lim[1 ( x 1) ( x x 1)] 2 x 1
五、 (10分)求微分方程y( x ) 2 y( x ) 3 y( x ) ( 2 x 1)e x
x y (2 x 1)e x 8 解： 对应齐次的特征方程为 r 2 2r 3 0
的一个特解
*
解得特征根为
r1 1, r2 3
2
2002级《高数》上试题解答
( 4 x 2 3) 3 ( 3 x 2)4 一、 1.求 lim ( 6 x 2 7 )5 x ( 4 x 2 3) 3 ( 3 x 2)4 3 4 4 3 2 解 lim ( 6 x 2 7 )5 x 5 6 3
2. 设 y ln( 1 x 2 )，求y
dx ； 5. 证明： 方程 x 4 3x 1 0在[1 ， 1]内有实根 x x 0e e 二、试解下列各题（21 分） 1. 求 x arcctgxdx ； 2. 求曲线 y x 3 3x 2 x 1的凹凸区间与拐点坐标 ；
3.求微分方程 3 y ( x ) 4 y ( x ) 2 y( x ) 0 的通解；
y 6 x 6 0 x 1
当x 1, y 0 y在( ,1]上的图形是凸的； 当x 1, y 0 y在[1,)上的图形是凹的； 当x 1时, y 2 故( 1,2)是曲线的拐点.
3.求微分方程3 y( x ) 4 y( x ) 2 y( x ) 0的通解。
2002 级《高等数学（上） 》试题
一、试解下列各题（30 分） (4 x 2 3) 3 (3x 2) 4 1. 求 lim ； x (6 x 2 7) 5 4. 求
1
(sec x tgx ) ； 2. 设 y ln(1 x 2 )，求y 3. 求 lim
x 2
x x2 xn n （ 8分） 三、 求极限 lim 。 x 1 x 1 四、 设 y y( x)由方程 x 2 xy y 2 6确定，求dy （7 分） 。 五、(10 分)求微分方程 y 2 y 3 y (2 x 1)e x 的一个特解。 x2 与y 2 x所围成图形的面积（ 10分） 六、 求由曲线 y x ，y 。 2 a2 b2 (a 0, b 0)， (0,1)上的最大值和最小值 (10分) 。 七、 求f ( x) x 1 x x 八、设f (t )在[0, 1]上连续，证明： xf (sin x)dx f (sin x)dx ， 并计算 dx （ 6分） . 0 0 1 sin x 2 0
x2 1 1 arc cot x (1 )dx 2 2 2 1 x
x2 x 1 arc cot x arctan x C 2 2 2
1 2 x ( x 1)arc cot x C 2 2
2.求曲线 y x 3 3 x 2 x 1的凹凸区间与拐点坐标 解 y 3 x 2 6 x 1
四、设 y y( x )由方程 x 2 xy y 2 6确定, 求 dy
解 两边求微分 2 xdx ( xdy ydx) 2 ydy 0
2x y dy dx x 2y
或先求y
2 x ( y xy) 2 yy 0
2x y y x 2y 2x y dy dx x 2y
解 y
2x 1 x2
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
2(1 x 2 ) ( 2 x )2 y (1 x 2 )2
3. lim (sec x tan x )
1 sin x 解 原式 lim ( ) cos x cos x x cos x lim 0 sin x x
1]上连续, 证： 设f ( x ) x 4 3 x 1 在[1，
f (1) 5 0, f (1) 1 0
由介值定理的 x 4 3 x 1 0在( 1,1)内至少有一实根

二、 1. 求 x arc cot xdx
x2 arc cot xd ( ) 2 x2 x2 1 arc cot x dx 2 2 2 1 x