§3.4 等价关系与划分
习题3.4
1. 对于给定的集合A 和其上的二元关系R ，判断R 是否为等价关系。

（1）A 为实数集，A y x ∈∀，，2=-⇔y x xRy 。

（2）}321{，，=A ，A y x ∈∀，，3≠+⇔y x xRy 。

（3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈∀，，是奇数xy xRy ⇔。

（4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈∀，，x y y x xRy ⊆∨⊆⇔。

（5）)(X P A =，集合X 和C 满足X C ⊆，A y x ∈∀，，C y x xRy ⊆⊕⇔。

解 略
2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系
A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，，
画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。

解 R 的关系图如下：
A 中各元素关于R 的等价类分别为：
},{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==
3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。

1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。

求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。

解 略
4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。

解 模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，，
所有的模6同余类为：
510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z
即
},20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----=
},21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----=
},22,17,12,7,2,3,8,13,18,{]2[ ----=
},23,18,13,8,3,2,7,12,17,{]3[ ----=
},24,19,14,9,4,1,6,11,16,{]4[ ----=
5. 设}656443422120{ ，，，，，，，，，，，
，><><><><><><=A ，判断下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。

（1）}|{122121212121y x y x A y y x x y y x x R +=+∧>∈<><>><><<=，，，，，，
（2）}|{221121212121y x y x A y y x x y y x x R +=+∧>∈<><>><><<=，，，，，， 解 略
6. 假如R 和S 是集合A 上的等价关系，问下面的关系是否一定是等价关系，是的给予证明，不是的举出反例。

（1）S R
（2）S R （3）c R
（4）S R - （5）S R
（6）1-R 解 （1）、（2）、（3）、（4）略
（5）S R 不一定是等价关系，例如：取集合}{c b a A ，，=及其上的等价关系
},,,,,,,,,{><><><><><=c c b b a b b a a a R
},,,,,,,,{><><><><><=c c b c c b b b a a S ，
有},,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c c b c c b b b a b c a b a a a S R ，它不是对称的，从而不是等价关系。

（6）1-R 一定是等价关系，证明如下：
A x ∈∀，因为R 是自反的，所以R x x >∈<,，从而1,->∈<R x x ，即1-R 是自反的；
1,->∈<∀R y x ，有R x y >∈<,，因为R 是对称的，所以R y x >∈<,，从而1,->∈<R x y ，即1-R 是对称的；
1,,,->∈<><∀R z y y x ，有R y z x y >∈<><,,,，因为R 是传递的，所以R x z >∈<,，从而1,->∈<R z x ，即1-R 是传递的；
综上所述，若R 是集合A 上的等价关系，则1
-R 一定是等价关系。

7. 当我们构造一个关系的自反闭包的对称闭包的传递闭包时，一定得到一个等价关系吗？是的请证明，不是的请举出反例。

解 略
8. 假如1R 和2R 是集合A 上的等价关系，1π和2π分别是对应于1R 和2R 的划分。

证明
21R R ⊆当且仅当1π是2π的加细。

（如果在划分1π中的每个集合都是划分2π中某个集合的子集，则1π叫做2π的加细）
证明 （1）由21R R ⊆推出1π是2π的加细，这就是要证明对于1π中的任何集合1A ，在2π中都存在集合2A ，使得21A A ⊆。

因为1π中的任何集合1A 是A 中的某个元素a 关于等价关系1R 的等价类，即
}
,|{][111R b a b a A R >∈<==
现构造 }
,|{][222R b a b a A R >∈<== 它是A 中元素a 关于等价关系2R 的等价类，从而是2π中的一个集合。

又由于21R R ⊆，所
以有21A A ⊆。

（2）由1π是2π的加细推出21R R ⊆，这就是要证明如果对于1π中的任何集合1A ，在2π中都存在集合2A ，使得21A A ⊆，那么21R R ⊆。

1,R b a >∈<∀，有11][][R R b a =，所以在1π中存在集合=1A 11][][R R b a =，使得1,A b a ∈。

根据条件，在2π中存在集合2A 使得21A A ⊆，从而2,A b a ∈。

由于2A 是A 中某个元素关于等价关系2R 的等价类，根据等价类的定义，有2,R b a >∈<。

所以21R R ⊆。