第二课时 圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
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【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
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提示
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例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆 C2：x2＋y2＋2x－2my ＋m2－3＝0，则 m 为何值时，
(1)圆 C1 与圆 C2 外切？ (2)圆 C1 与圆 C2 内切？
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答案
(2)如果 C1 与 C2 内切，则有 m＋12＋m＋22＝3－2，即(m＋1)2＋(m ＋2)2＝1，
∴m2＋3m＋2＝0，解得 m＝－2 或 m＝－1. ∴当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； 当 m＝－2 或 m＝－1 时，圆 C1 与圆 C2 内切．
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(3)解法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. ②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝0－4， 或xy22＝＝20.， 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
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[解] 圆 C1，圆 C2 的方程经配方后为 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9； C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其中 C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果 C1 与 C2 外切，则有 m＋12＋m＋22＝3＋2，即(m＋1)2＋(m ＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得 m＝－5 或 m＝2.
提示：有 3 种．
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提示
(2)从两圆具体位置来看，两圆的位置关系应有几种？相交时两圆圆心距 与两圆半径有什么关系？
提示：5 种．相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2.
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提示
2．圆 C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1 与圆 C2：(x－3)2＋y2＝16 的位置关系是 ()
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提示
3．圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：(x－3)2＋y2＝m 相离，则实数 m 的取值范
围是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,4)
D．(0,4]
提示：C 由条件知 C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)，∵两圆相 离，∴|C1C2|>r1＋r2，即 3>1＋ m，∴m<4.又 m>0，∴0<m<4.
设两圆的圆心距为 d，则 d＝|C1C2|＝ 3－02＋0＋42＝5，所以 d＝r1 ＋r2，因此两圆外切.
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随堂巩固训练－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
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解法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， x2＋y2＋2x＋2y－8＝0， 两式相减得 x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
＝__□0_1_____x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2_.
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则两圆 C1，C2 有以下位置关系：
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)从两圆的交点个数上看，两圆有几种位置关系？
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[解] (1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆 C1 的圆心为(1，－5)，半径 r1＝5 2； 圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径 r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10，r1－r2＝5 2－ 10， ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0.
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[变式训练1] 判断圆 C1：x2＋y2－6x＝0 与 C2：x2＋y2＋8y＋12＝0 的 位置关系．
解 两圆方程可变形为 C1：(x－3)2＋y2＝9，C2：x2＋(y＋4)2＝4，由此 可知圆 C1 的圆心坐标为(3,0)，半径 r1＝3，圆 C2 的圆心坐标为(0，－4)，半 径 r2＝2.
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类题通法 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种方法，几何法比代数法简便， 解题时一般用几何法.,用几何法判断两圆位置关系的操作步骤： 1将两圆的方程化为标准方程. 2求两圆的圆心坐标和半径 R，r. 3求两圆的圆心距 d.,4比较 d 与|R－r|，R＋r 的大小关系.
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
提示：D 圆 C1 的圆心为点 C1(－1，－3)，半径 r1＝1，圆 C2 的圆心为 点 C2(3,0)，半径 r2＝4.两圆圆心的距离|C1C2|＝5，所以|C1C2|＝r1＋r2，故圆 C1 与圆 C2 外切，故选 D.
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