We
1 N 2i1
Vi
(r)U(r)dV
1 N 2i1
Vi
(r)Ui(r)dV12
N i1
Vi
(r)U(i)(r)dV
其中，
N1
W互
i1
2
Vi
(r)Ui(r)dV
W 自 ＝ 1 2iN 1 Vi
N
(r)U(i)(r)d＝ V W 自 (i)
i1
这里，W自(i)是第i个带电体的静电能，并称为第i个带电
由此可得N个点电荷组的静电相互作用能W互为：
W互
1 2
N j1
N
qiU j i
i1
ji
定义
Ui
N
Uji
j1
N qj
j1 40rji
ji
ji
为点电荷组中除qi外其他点电荷在qi处产生的电势 代数和，即点电荷组中除qi外其他电荷在qi处产生 的电场电势。由此上式可写成：
W互
1 2
N i1
qiUi
1、带电体的静电能We
对带电体内电荷无限分割时，即过渡到体积
分：
We 12V(r)U(r)dV
这里，U(r)包括电荷元ρdV在内的带电体全
部电荷在r处产生的电势。故 U(r)=Ui(r)+dU，
其中dU是ρdV在自身r处产生的电势，可以
证明，dU趋于0。
因此，带电体的静电能包括带电体内电荷元 之间的相互作用能和电荷元内的电能。
§3.2 电荷连续分布的带电系统的 静电能
对一个体电荷连续分布的带电体，体积设为V， 所带电荷设为q，电荷在带电体中的分布情况 由体电荷密度ρ描述，我们设想把其分割成许
多小体电荷元ΔVi，这些体电荷元都可以视为
点电荷，因此可得带电体的相互作用能
W互1 2 i (ri)ViUi(ri)
式中，Ui(ri)为除第i个电荷元以外带电体其他电 荷在ri处产生的电势。
W 互 q 2 U 12 q 1 U 2 11 2(q 2 U 1 2q 1 U 2)1
（2）N个点电荷组的W互
由两个点电荷组的静电相互作用能公式推广到 N个点电荷组，可以对这N个点电荷进行不重 复的组对，然后把每对点电荷的静电相互作用 能加起来，即可得到N个点电荷组成的点电荷 组的静电相互作用能W互。
r1 r2
U2(r2)
1
40
V1
1(r1)dV1
r1 r2
因此，可得：
1
W互 4 0
V1
1 (r1 ) 2 (r2 )dV1dV2
V2
r1 r2
1 (r1 )U 1 (r1 )dV1
V1
2 (r2 )U 2 (r2 )dV2
中科大电磁学课件--第三章
§3.1 带电系统的静电能与电场的 能量
1、点电荷组的静电相互作用能 2、电荷连续分布的带电系统的静电能 3、利用静电能求静电力 4、电场的能量与能量密度
§3.1.1 点电荷组的静电相互作用能
1、真空中N个点电荷组成的点电荷带电系统，电 量分别为q1q2..qN，空间位置分别为r1r2..rN，其 中i、j点之间距离rij为：rij ri rj rji
由N个带电面组成的带电系统的静电能为：
We i
1 2Si
i(r)Ui(r)d
S
如果是N个带电导体表面，注意到导体表面是 等势面，则其静电能为：
1
1
W e
i
( 2Si
i(r)d)U Si 2i qiU i
5、带电体的电势能
带电体或带电系统的电势能是我们研究的带电 体同产生外电场的带电系统之间的相互作用能。
2、N个带电体的系统的静电能
设N个带电体的体积为V1,V2..VN，它们在空间r 处产生的总电势为
U(r)Ui(r)U(i)(r)
其中，Ui(r)是除了第i个带电体的电荷以外其余所有电荷 在r处产生的电势，U(i)(r)是第i个带电体的电荷在r处产 生的电势。
则N个带电体组成的带电系统的静电能为： We=W互+W自
3、带电面的静电能
带电导体的电荷分布在表面上，因此求带电导 体的静电能是求面电荷分布的带电系统的静电 能。对面电荷系统的静电能为：
We 12S(r)U(r)dS
这里U(r)为带电面上r处的电势。对于带电导体， 导体表面是等势面，因此其静电能为：
We 12(S(r)dS)U12qU
4、N个带电面的带电系统静电能
1 2
N
(
i1 Vi
(r )dV )U i (r )
这和点电荷组12 的iN1 q相iU 互i 作用能完全一致。
带电体的自能的讨论
对点电荷和线电荷的自能的讨论 ➢ 点电荷的自能无限大，即自能是发散的。因此
讨论点电荷组的电能时，只讨论互能。点电荷 的自能为无限大表明，真正的点电荷实际上是 不存在的。 ➢ 线电荷的自能也是无限大，这表明线电荷只是 一种近似模型，真正的线电荷是不存在的。
由此，两个带电系统之间的相互作用能为：
其W 中互 ，1 2 U1V 1 (r1)1 为(r 1 外)U 电1(r 1 场)d 在1 r V 1处1 2产V 2生2 的(r2 电)U 势2(，r2)d2V
U2(r2)为研究的带电体在r2处产生的电势。
1
U1(r1)
40
V2
2(r2)dV2
全部rij决定点电荷组中点电荷的相对位置分布。 处于一定电荷分布状态的点电荷组具有与rij有
关的能量。这种与点电荷之间相对位置有关的 点电荷组能量，称为点电荷组的静电相互作用 能。
2、点电荷组W互的具体表达式
（1）讨论相距r12的两个点电荷q1和q2组成的点 电荷组，从无穷远处状态到相距r12状态，外力 克服电场力所做的功与两点电荷移入的次序无 关，只与点电荷组终态的状态参数q1、q2和r12 相关。如前所述，这个功就等于两个点电荷的 点电荷组的静电相互作用能W互，即
NN
W 互 W 互 q1W 互 q2 W 互 qj qiU ji
处式产中生，U的ji 电 4势q。0j rjirj是i是第第j个j个点点电电荷荷在到j第 第1ii 个i个j点点电电荷 荷的距离。
由于第j个点电荷与第i个点电荷组成的点电荷对的
相互作用能相等，
1 qiU jiqjU ij2(qW互是带电系统内N个带电体之间的相互作
用能，简称系统的互能。
带电体的相互作用能的讨论
如果系统内带电体体积Vi非常小，以至于其他
带电体在Vi内产生的电势Ui(r)在Vi内各点近似
相等，即Ui(r)=Ui，则系统的相互作用能为：
W 互
N1 i1 2
Vi
(r )U i (r )dV