选修4-4 第二章 参数方程
【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念
一、教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程
（一）．参数方程的概念
1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν
，与地面成
α角，
如何来刻画铅球运动的轨迹呢？
2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：
为参数）
t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩
⎪
⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。

（见课本第27页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：【课本P27页例题】
为参数）
t gt y t x (215001002⎪⎩
⎪
⎨⎧-==
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹
的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：
例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1
232
t y t
x (t 为参数)（1）判断点
1
M
(0,1),
2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，
求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60
π
rad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。

解析：如图，运动开始时质点位于A 点处，此时t=0，设动点M （x,y ）对应时刻t ,由图可知
⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x 又t 60πθ=，得参数方程为22⎪⎩
⎪⎨⎧
==y x
（三）、课堂练习：课本P28页中练习题1、2
（四）、小结：1．本节学习的数学知识；2（五）、作业：课本P28页中1、3
补充：设飞机以匀速v=150m/s 作水平飞行，若在飞行高度h=588m 处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。

（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。

简解：（1）)(9.45881502
为参数t t
y t
x ⎩⎨⎧-==。

（2）1643m 。

1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )
A ．10
B ．3 C.83
D.103
解析：PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83
.
答案：C
2．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 是A 1C 1的中点，则E 到AB 的距离是( ) A ．2 B. 3 C.
192
D.
102
解析：建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，B (3，1,0)，E (0,1,2)，
AB ＝(3，1,0)，AE ＝(0,1,2)，
∴AE ·AB ＝1，|AE ·AB ||AB |＝12，
则E 到AB 的距离d ＝ |AE |2－(1
2
)2＝
5－14＝192
. 答案：C
3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1到直线BC 1的距离是( ) A.6
2
a B ．a C.2a
D.a 2
解析：如图所示，取BC 1中点O .则A 1O ⊥BC 1，连A 1C 1，A 1B . 在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2a ，BO ＝2
2
a ， ∴A 1O ＝A 1B 2－BO 2＝
2a 2－12a 2＝62
a .
答案：A
4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面
AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.34
解析：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．
∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，
则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.
令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．
∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝4
3.
答案：C
5．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝2，则P 到平面ABC 的距离为________．
解析：如图，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，可求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，PA ＝(2,0,0)，则P 到平面ABC 的距离为|PA ·n ||n |＝23
3
. 答案：
23
3
6.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1
到平面ABC 1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A
⎝⎛⎭
⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，
则1C A ＝
⎝⎛⎭
⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设
平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
1C A ·n ＝0 11C B ·
n ＝0，解得n ＝(33
，1,1)，
则d ＝|
11C B ·n |n |
|＝
1
1
3＋1＋1＝21
7.
答案：
217
7.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD ＝4，PA ＝1，求点P 到BD 的距离．
解：法一：作AH ⊥BD ，垂足为H ， ∵PA ⊥平面ABCD ，
∴AH 为PH 在平面ABCD 上的投影．由垂直关系得PH ⊥BD ， ∴PH 即为P 到BD 的距离， 在Rt △ABD 中，可得AH ＝
125
， 在Rt △PAH 中，由勾股定理 可求得PH ＝
PA 2＋AH 2＝
135
， ∴P 到BD 的距离为13
5
.
法二：如上图，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建系，则P (0,0,1)，B (3,0,0)，D (0,4,0)，
∴PB ＝(3,0，－1)，BD ＝(－3,4,0)， ∴
PB ·BD
|BD |
＝－95，
P 到BD 的距离d ＝
|PB |2－|
PB ·BD |BD |
|2
＝
10－(－95)2＝13
5
.
∴P 到BD 的距离为13
5
.
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而
得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.
求点C 到平面AEC 1F 的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．
设n 为平面AEC 1F 的法向量，
显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－14.
n ＝(1，－1
4，1)． 又1CC ＝(0,0,3)．
∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |
＝
31＋116
＋1＝43311
.。