石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）文科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】 .故选C.3. 已知四个命题：①如果向量与共线，则或；②是的必要不充分条件；③命题：，的否定：，；④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】①错，如果向量与共线，则；②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到，如；③命题：，的否定：，；正确④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.故选D.4. 若数列满足，，则的值为（）A. 2B. -3C.D.【答案】B【解析】，，所以故数列是以4 为周期的周期数列，故故选B.5. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 84平方里B. 108平方里C. 126平方里D. 254平方里【答案】A【解析】根据题意，，代入计算可得故选A.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为一个半圆柱中间挖去了一个半球，半圆柱的高为4，底面半径为1，半球的半径为1 ，故其体积为故选B.9. 设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，是定义在上的偶函数，则由函数为增函数，在上为减函数，故故选B.10. 抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（）A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】过作垂足为，则∴∴的高等于，设则的面积又由，三角形为等腰直角三角形，所以，∴的面积2故选B.11. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.12. 已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（）A. 1B.C. 2D.【答案】D故选D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 设向量，，若，则__________．【答案】【解析】即答案为.14. ，满足约束条件：，则的最大值为__________．【答案】3【解析】画出可行域如图所示，由图可知当目标函数经过点取到最大值。

最大值为即答案为3.15. 甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是__________．【答案】乙【解析】（1）根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小”可得：丙是体委；（2）根据“丙的年龄比学委的大，体委比乙年龄小”可得：乙＞丙＞学习委员，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长．答：班长是乙．故答案为：乙．【点睛】此题关键是根据题干中体委与甲和乙的年龄关系，得出，体委是丙．然后才能根据丙与乙和学委的年龄关系得出，乙不是学委，从而得出乙是班长．16. 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．【答案】【解析】如图，不妨设在处，，则有由该直角三角形斜边故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由a3=7，且、、成等比数列．可得，解之得即可得出数列的通项公式；2）由（1）得，则，由裂项相消法可求数列的前项和.试题解析：（1）设数列的公差为，且由题意得，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，.18. 四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.（1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）（2）利用等体积法可求点到平面的距离.试题解析：（（1）因为平面SDM，平面ABCD，平面SDM 平面ABCD=DM，所以，因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点. 因为，.（2）因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面，平面平面，在平面内过点作直线于点，则平面，在和中，因为，所以，又由题知，所以，由已知求得，所以，连接BD，则，又求得的面积为，所以由点B 到平面的距离为.19. 小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：，，，，，，，，）【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. 求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，由此可求出这100天中甲方案的日薪平均数及方差：同理可求出这100天中乙两种方案的日薪平均数及方差，②不同的角度可以有不同的答案试题解析：（（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式为：，乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：，（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则，，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则，②、答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设由题，由此求出,可得椭圆的方程；（2）设，，当直线的斜率不存在时，可得；当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线、的斜率存在时，，设直线的方程为，则由消去通过运算可得，同理可得，由此得到直线的斜率为，直线的斜率为，进而可得.试题解析：（1）设由题，解得，则，椭圆的方程为.（2）设，，当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得，，，则，直线的斜率为，直线的斜率为，，当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线、的斜率存在时，，设直线的方程为，则由消去可得：，又，则，代入上述方程可得，，则，设直线的方程为，同理可得，直线的斜率为，直线的斜率为，.所以，直线与的斜率之积为定值，即.21. 已知函数，，在处的切线方程为. （1）求，；（2）若，证明：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于的方程组，解出即可；（2）由（1）可知，，由，可得，令，利用导数研究其单调性可得，从而证明.试题解析：（（1）由题意，所以，又，所以，若，则，与矛盾，故，.（2）由（1）可知，，由，可得，令，，令当时，，单调递减，且；当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故，故.【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为，，消去参数可知曲线是圆心为，半径为的圆，由直线与曲线相切，可得：；则曲线C的方程为，再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得可得曲线C的极坐标方程.(2)由（1）不妨设M（），，（），，，由此可求面积的最大值.试题解析：（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为，所以曲线C的极坐标方程为，即.(2)由（1）不妨设M（），，（），，，当时，，所以△MON面积的最大值为.23. 已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知恒成立，令，分类讨论得到其解析式，通过作图发现其最大值，即可得到实数的取值范围；（2）由（1）可知，所以，可求其最小值.试题解析：（1）由题意可知恒成立，令，去绝对值可得：，画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为；（2）由（1）可知，所以，，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为。