高三数学总复习讲义——函数概念一、 知识清单1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。

若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。

2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。

3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。

4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。

函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。

5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0<a 时值域是ab ac 442-]； ③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k xk y 的值域为}0|{≠y y ；④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 二、课前练习1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则到的映射有个，到的映射有个；若}3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则到的一一映射有个。

2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射下，象20的原象是 ( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则==)(r f S ；定义域为。

4. 求函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域.5. 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

6.已知[]221()12,()x g x x f g x x-=-= (x ≠0),求1()2f .7. 求函数2y x =+. 8. 下列函数中值域为()∞+，0的是( ) (A) xy -=215(B) xy -⎪⎭⎫⎝⎛=131 (C) 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy (D) x y 21-=三、 典型例题EG1、A =｛1，2，3，4，5｝，B =｛6，7，8｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有个。

变式1、若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.变式2、集合M ={a ，b ，c }，N ={－1，0，1}，映射f :M →N 满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f :M →N 的个数是多少？EG2、设函数()f x =()g x =，求函数()()f x g x 的定义域. 变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B.)1,31(-C. )31,31(-D.)31,(--∞变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 A.()()4,00,4 - B.()()4,11,4 -- C.()()2,11,2 -- D.()()4,22,4 --函数值域求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法． 一、用非负数的性质例１ 求下列函数的值域：y=-3x 2+2; 变式：y=5+21+x (x ≥-1).二． 分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例２ 求下列函数的值域：y=12++x x 变式2、y=1122+-x x .三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例３ 求函数y=3x-x 21-的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例4 求函数y =432+x x的最值． 变式：22221x x y x x -+=++；五、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例5 若（x+21y -）(y-21x -)=0,求x-y 的最大、最小值．变式：函数y =的值域.六、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例6 求函数y=2x-5+x 415-的值域． 变式：求函数x x y -+=142的值域七、利用反函数求值域因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f -1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．例7 求函数y=2xx e e -+(x ＞0)的值域．变式：函数 y ＝xx e-1e 2+的值域是由e x＝1y 2-y +＞0，得值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)； 八、利用已知函数的有界性．例8 求函数y=34252+-x x 的值域.变式：求下列函数的值域（1）66522-++-=x x x x y（2）2211()212x x y x x -+=>-； 函数解析式一、定义法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .变式1：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 变式2：设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .变式3：设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 二、待定系数法：例2：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .变式1、已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； 三、换元（或代换）法：例3：已知,11)1(22x xx x x f ++=+求)(x f . 变式1：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .变式2：若x xx f x f +=-+1)1()( 求)(x f . 变式3：设)0,,()1()()(b a ，c b a cx xbf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

四、微积分法：例4：设2)1(,cos )(sin 22=='f x x f ，求)(x f .四、 实战训练1、(07安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2)(B) |1|2323--=x y (0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)2、（07陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为（A ）［0，1］（B ）（-1，1） （C ）［-1，1］（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）3、（07山东文13）设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f =． 4、（07北京文14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 [(1)]f g 的则值为；当[()]2g f x =时，． 5、（07北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 [(1)]f g 的则值为；满足[()f g x g fx>的的值是． 6、（07上海理1）函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____7、（07湖北文理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比； 药物释放完毕后，与的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I 之间的函数关系式为；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．8、(07浙江文11)函数()221x y x R x =∈+的值域是______________．9．（08北京模拟）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的 为。

10（08北京模拟）对于任意实数，，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__________ .11．（08北京模拟）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ∈Z ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ） 5个 （D ）无数个 12.（08全国）函数y =的定义域为（ ） A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤13.（08四川）设定义在上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）132（Ｄ）21314.（08江西）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]315.（08湖北）函数1()f x x=的定义域为A. (,4][2,)-∞-+∞B.(4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1]D. [4,0)(0,1)-16.（08陕西）定义在上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2B ．3C ．6D ．917.（08重庆)已知函数y=M ,最小值为m ,则mM的值为 (A)14(B)12(C)218.（08安徽）函数2()f x =的定义域为．19.（08湖南卷14）已知函数()1).f x a =≠若a ＞0,则()f x 的定义域是;20．（07陕西）设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.21．（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为．（I ）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积的最大值．。