2017年高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805． 已知双曲线C ：22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f(x)=cos(x+3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．6 B ．3C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a=A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A．3 B．CD．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件y020xx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z34x y=-的最小值为__________．14．设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________．15．设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________。

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥ AC,求△ABD的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C的余弦值．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 21．（12分）已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 23．[选修45：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、选择题：1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A11、【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=， 解得12a =． 12、【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C∵P 在C 上． ∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：()A O DxyBPCE00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 2x μθ==+，0215sin 5y λθ==+． 两式相加得：222515sin 1cos 52552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin ϕ=，25cos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 二、填空题：13． 1- 14． 8- 15．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭16．②③16、【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持 不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=． 设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=.当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=， sin3πθα===． ∵22cos sin 1θθ+=， ∴|cos |θ= ∴1cos cos |2βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：17．（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2） ∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯ ()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵ ①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+=此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．⑴ 取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：2OD =，OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD ACOD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面 由面面垂直的判定定理 可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵ 由题意可知V V D ACE B ACE --=即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点DABC EO以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =， 建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,0B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,4a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：3,,24a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ， 则110AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()13,1,3n =220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()20,1,3n =- 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角， 则12127cos n n n n θ⋅==⋅20．⑴ 显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立：222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴，即O 在圆M 上．⑵ 若圆M 过点P ，则1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= 化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．⑴ 将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．⑴ ()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵ 不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）A B 中元素的个数为()()(2i 1i 1i 1i -+-3.【答案】A【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A 错误.4．【答案】C【解析】当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含23x y 的项，即()()23352C x y -，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含32x y 的项，即()()32252C x y -，所以33x y 的系数为()23325522108440C C ⨯-⨯=⨯-=.【解析】根据双曲线C 的渐近线方程为2y x =，可知2b a = ①，又椭圆221123x y +=的焦点坐标为（3，0）和（3-，0）,所以229a b += ②，根据①②可知224,5a b ==,所以选B.6．【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数()f x 的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为π2-，A 正确；当8ππ,3π33=+=x x ，所以πcos 13⎛⎫+=- ⎪⎝⎭x ，所以B 正确；()4cos cos 33ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x ，当π6=x 时，4π3π32+=x ，所以()π0+=f x ，所以C 正确；函数()πcos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 在（π2，23π）上单调递减；（23π，π）上单调递增，故D 不正确.所以选D . 7．【答案】D【解析】010*******,100911001090,13S M t S M t =+==-==-===，，＞；，,90＜91，输出S ，此时，3t =不满足t N ≤，所以输入的正整数N 的最小值为2，故选D. 8．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，则22213=1=24r ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，圆柱的体积33=π1=π44⨯V ，故选B.9．【答案】A【解析】设等差数列n a 的公差为d ，因为236,,a a a 成等比数列，所以2263a a a =，即()()()211152a d a d a d ++=+，又11a =，所以220d d +=，又0,d ≠则2d =-，所以6159a a d =+=-，所以n a 的前6项的和6196242S -=⨯=-，故选A. 10．【答案】A以线段12A A 为直径的圆的方程为222x y a +=，由原点到直线20bx ay ab -+=的距离==d a ，得223a b =，所以C 的离心率3e ==.【解析】由()()2112x x f x x x a e e --+=-++，得()()()()()()2212121121122224422x x x x x x f x x x a e e x x x a e e x x a e e --+------⎡⎤-=---++=-++++=-++⎣⎦，所以()()2f x f x -=，即1x =为()f x 图像的对称轴.由题意()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()()2111111210f a e e --+=-⨯++=，解得12a =.故选C. 12．【答案】A【解析】以A 为坐标原点，AB AD ，所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），C （1，2），D （0，2），可得直线BD 的方程为220x y +-=，点C 到直线BD 的距离为22512=+，圆C ：()()224125x y -+-=，因为P 在圆C 上，所以P （251cos θ+，252sin θ+）(1,0)AB =，(0,2)AD =，(,2)AP AB AD λμλμ=+=，所以251cos 5252sin 25{θλθμ+=+=()2552cos sin 2sin 355λμθθθα+=++=++≤，tan 2α=，选A.13．【答案】1-【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线:340l x y -=，平移直线l ，当直线34z x y =-经过点A （1，1）时，z 取得最小值，最小值为341-=-.14．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则121(1)1a a a q +=+=-，2131(1)3a a a q -=-=-，两式相除，得21113q q +=-，解得12,1q a =-=，所以3418a a q ==-. 15．【答案】∞1（-，+）4【解析】当0x ＞，()=21xf x ＞恒成立，当102x -＞，即12x ＞时，121()=212x f x --＞，当102x -≤，即102x ≤＜时，111()=222f x x -+＞，则不等式1()()12f x f x +-＞恒成立.当0x ≤时，113()()121222+-=+++=+f x f x x x x ＞，所以104x -≤＜.综上所述，x 的取值范围是（14-，+∞）.16．【答案】②③【解析】由题意知，,,a b AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，则1,2AC AB ==AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，l 为半径的圆.以C 为坐标原点，以CD 的方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，CA 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.则D （1，0，0），A （0，0，1）， 直线a 的单位方向向量(0,1,0), 1.a a == B 点起始坐标为（0，1，0）， 直线b 的单位方向向量b (1,0,0), 1.b == 设B 点在运动过程中的坐标B'(cos ,sin ,0)θθ， 其中θ为'CB 与CD 的夹角，[0,2)θπ∈.那么AB'在运动过程中的向量'(cos ,sin ,1),'2AB AB θθ=-=.设直线AB'与a 所成的夹角为[0,2],απ∈(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos [0,2a ABθθαθ-⋅==∈ 故[,],42ππα∈所以③正确，④错误.设直线AB'与b 所成的夹角为β，则[0,2],βπ∈'b cos 'AB b AB β⋅=(cos ,sin ,1)(1,0,0)'b AB θθ-⋅=.θ当'AB 与a 成60︒角时，=3πα，1sin =322πθα 因为22sin +cos =1,θθ所以cos =2θ所以21cos =cos =.22βθ 因为[0,2],βπ∈ 所以=3πβ，此时'AB 与b 成60︒角.所以②正确，①错误.。