2020/12/2
第一节 函数
(6)反三角函数
反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
yarcx,sx in 1,1,yπ 2,π 2
y ar x ,x c 1 c , 1 ,y o 0 ,π s
yarcx,tx a n , ,y π,π
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y a c r x ,x o c t , ,y 0 , π
例 如 ， y sin x 在 , 上 有 界 , 因 为 sin x 1 对 任 何
x
,
都成立；而函数
y
1 x
在
1,1
上无界，因为不存在
正数 M
，使得
1 x
M
对于 0,1上的一切 x 都成立.
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第一节 函数
二、函数的性质
2.单调性
若 对 任 意 的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时 , 恒 有 f x1 f x2 ( 或 f x1 f x2 ),则称函数 y f x在区间 I 上单调增加(或单调减
（1）分式函数的分母不能为零； （2）偶次根式的被开方式必须大于等于零； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）三角函数与反三角函数要符合其定义； （5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各 部分定义域的交集.
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第一节 函数
二、函数的性质
1. 有界性
2如. 果存在正数 M ,使对任意的 x I ,恒有 f x M ,则称 函数 y f x在区间 I 上有界,否则称 f x 在区间 I 上无界.
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第一节 函数
五、复合函数 设 y f u ,其中 u x ,且函数 u x 的值域包含在
函数 y f u 的定义域内,则称 y f x 为由 y f u 与 u x 复合而成的复合函数,其中 u 称为中间变量.
例如， y u 2 ,u sin x 可复合成 y sin 2 x .
一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期.
例如, y cosx 是以 2π 为周期的周期函数; y tan x 是以 π
为周期的周期函数.
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第一节 函数
三、反函数
设函数 y f x的定义域为 D ,值域为 M .如果对于 M 中的每个 数 y ,在 D 中都有唯一确定的数 x 与之对应,且使 y f x成立,则确 定了一个以 y 为自变量, x 为因变量的函数,称为函数 y f x的反函 数,记为 x f 1y,其定义域为 M ,值域为 D .
y f x, x D ，
其中变量 x 称为自变量,变量 y 称为因变量(或函数),数集 D 称
为函数的定义域, f 称为函数的对应法则.
确定函数的两个要素：定义域和对应法则.
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第一节 函数
一、函数的概念
例
函数
y
x
1 与函数
y
x2 1 x 1
是否表示同一函数？
解 否.它们表示两个不同的函数.前者的定义域为
(5)三角函数
正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数
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y sx , i x n , ,y 1 , 1 y cx ,x o s , ,y 1 , 1
ytax,n xkππ,k Z ,y ,
2
y cx , o x k π t,k Z , y ,
设函数 f x 的定义区间 I 上关于原点对称,若对任意的 xI ,
都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的偶函数;若对任意
的 xI ,都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的奇函数;
若函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数.
例 如 ， y x2 与 y cosx 在 , 上 是 偶 函 数 ， y x3 与
注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.
y sin x 在 , 上是奇函数， y x 1 cosx 在 , 上是非
奇非偶函数.
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第一节 函数
二、函数的性质
4.周期性
如果存在不为零的实数T ,使得对于任意的 xI , x T I ,
都有 f x T f x ,则称函数 y f x是周期函数, T 是 y f x的
, ，后者的定义域为 ,1 1, .因为定义域不同，所
以函数不同.
例
求函数
y
1
x2 1 的定义域.
解
由
x2
1
0
，得
x
1，所以函数
y
1 x2 1
的定义域为
,1 1,1 1,.
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第一节 函数
一、函数的概念
函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值 范围.一般考虑以下几个方面：
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第一节 函数
三、反函数
例 求函数 y 3 x 1 的反函数.
解 由 y 3 x 1 解得 x y3 1.当 y 在 ,内任取一值时， 有唯一确定的 x 值与之对应，所以它是一个函数.将 x, y 分别换为 y, x ，得
y x3 1， 即函数 y 3 x 1 的反函数为 y x3 1.
少).区间 I 称为单调增区间(或单调减区间);单调增加函数和单
调减少函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.
例如， y x2 在 [0,) 内单调增加，在 (,0] 内单调减少.
又如， y x3 在 ,内单调增加.
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第一节 函数
二、函数的性质
3.奇偶性
高等数学简明教程
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第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限ຫໍສະໝຸດ 第三节 极限的运算第四节 函数的连续性
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第一节 函数
一、函数的概念
设 x ，y 是两个变量, D 是给定的非空数集,如果变量 x 在 D 内任取一个确定的数值时,变量 y 按照一定的法则 f 都有唯一确 定的数值与之对应,则称变量 y 是变量 x 的函数,记为
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第一节 函数
四、基本初等函数
(1)常数函数
y C ( C 为常数）
(2)幂函数
y x ( 为实数)
(3)指数函数
y ax ( a 0 ,且 a 1, a 为常数)
(4)对数函数
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y log a x ( a 0 ,且 a 1, a 为常数)
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第一节 函数