2
s1 0
s0 2
3e e
2
2 0
2
某行第一列元素为0， 而该行元素不全为0时:
将此0改为e ，
继续运算。
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
§3.6 系统稳定性分析（7）
例4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25 = (s±j5) (s+1) (s+1±j2) =0
51010 5
10
33
52510 33 5
13834
184 3310 184 33
510
10
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
§3.6 系统稳定性分析（6）
(3) 劳斯判据特殊情况处理
例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半s平面的极点数。
解. 列劳斯表
s3 1
-3
s2 e
An
n
Ai
s 1 s 2
s n i1 s i
n
k(t ) A1e it A2e 2t Ane nt Ai e it
n
i 1
lim k(t)
t
lim
t
i 1
Ai e it
0
充分性： i 0 i 1, 2, , n
i 0 i 1, 2, , n
n
t
k(t ) Aieit 0
s3 80 00
s2 e0
-2
d 2s4 2 8s3 0
ds
s1 16 /e 0
s0 -2
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
§3.6 系统稳定性分析（9）
例6 系统结构图如右，
(1)确定使系统稳定的参数(K,x的范围;
(2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
解.
控制工程导论 （第 17 讲）
§3 时域分析法
§3.6 系统稳定性分析
§3.6 系统稳定性分析（1）
§3.6.1 稳定性定义
稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系 统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论 的基本任务之一。
定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
K 0.61
课程小结
§3.6.1 稳定性定义 lim k(t) 0 t
§3.6.2 稳定的充要条件
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均位于左半s平面
§3.6.3 稳定判据
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
（1）判定稳定的必要条件 ai 0
§3.6 系统稳定性分析（4）
(2) 劳斯（Routh）判据
D(s) an sn an1sn1 an2sn2 a1s a0 0
劳斯表
sn s n1 s n 2 s n 3
an an1
b1 c1
an2 an3
b2 c2
an4 an5
b3 c3
an6 an7
b4 c4
bb2c31132abnn11a11annnn375aa46b2nn11a11aannnn1a1abnn243573
i 1
系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半s平面。
§3.6 系统稳定性分析（3）
§3.6.3 稳定判据 D(s) an sn an1sn1 a1s a0 0 (an 0)
(1)必要条件 ai 0 i 0, 1, 2, , n 1
说明： D(s) (s 1)(s 2)(s 3) (s2 3s 2)( s 3) s3 6s2 11s 6
ds
出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号 相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。
§3.6 系统稳定性分析（8）
例5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0 =(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)
解. 列劳斯表
s5 1
0
s4 2
0
-1 -2 列辅助方程： 2s4 2 0
E(s) R( s )
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s(Ts 1) A
r(t) A1(t)
ess1
lim s s0 s(Ts 1) K
s
0
r(t) A t
s(Ts 1) A A
e ss 2
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s2
K
r(t) A t2 2
s(Ts 1) A
e ss 3
§3.7 稳态误差分析 (1)
概述
稳态误差是系统的稳态性能指标， 是对系统控制精度的度量。
对稳定的系统研究稳态误差才有意义， 所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。
本讲只讨论系统的原理性误差， 不考虑由于非线性因素引起的误差。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误 差的系统称为无差系统； 而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
s0
a0
劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定
且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数
§3.6 系统稳定性分析（5）
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0
解. 列劳斯表
s4 1
7
s3 5
2
s2
33 5
10
s1
118844 3333
s0 10
10
57 5
2
33 5
控制工程导论
讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社
控制工程导论
本次课程作业(17)
3 — 12, 14
控制工程导论
（第 17 讲）
§3 时域分析法
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
引言 脉冲响应函数 一阶系统 二阶系统 高阶系统及性能估计 系统稳定性分析 稳态误差分析
§3 时域分析法
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
引言 脉冲响应函数 一阶系统 二阶系统 高阶系统及性能估计 系统稳定性分析 稳态误差分析
控制工程导论 （第 18 讲）
§3 时域分析法
§3.7 稳态误差分析 (1)
课程回顾
§3.6.1 稳定性的概念 limk(t) 0 t
s0
R( s)
1
1
K sv
G0 (s)
§3.7.3 静态误差系数法（2）
1
1
ess
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
R(s) 1 G1(s)H (s)
lim s
s0
R( s) 1
K sv
G0 ( s)
A
1
A
A
r(t) A1(t)
essp
lim
s0
s
e
(
s)
R(
s
)
lim
s0
s
s
§3.6 系统稳定性分析（2）
§3.6.2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 lim k(t) 0 ,则系统是稳定的。
t
必要性：
(s)
M(s)
bm (s z1 ) (s z2 )
(s zm )
D(s) an(s 1 ) (s 2 ) (s n )
C(s) (s)
A1
A2
(1)
G(s)
s
(s2
Ka
20xs
100)
K Ka 100
D(s) s3 20x s2 100 s 100K 0
s3
1
100
s2
20x
100K
s1 2000x 100K 0
20x
s0
100K
x0 K 20x
K0
§3.6 系统稳定性分析（10）
(2)当
当
xx22时时，，进确行平定移使：全部s极点s均位1 于s=-1之左的K值范围。
D(s)
s3
s
2s012
s2
100 s
100K
0
D(s ) (s 1)3 40 (s 1)2 100(s 1) 100K 0
s 3 37 s 2 23 s (100K 61) 0
s3
1
23
s2
37 100K 61
s1
912 100K 37
0
K 9.12
s 0 100K 61
（2）劳斯判据 （3）劳斯判据特殊情况的处理 （4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）
控制工程导论
本次课程作业(17)
3 — 12, 14
控制工程导论
讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社
控制工程导论
本次课程作业(18)
3 — 17, 18
控制工程导论 （第 18 讲）
( m s 1)
(Tnv s 1)
K sv
G0 ( s)
G0 ( s)
( 1s 1)
(T1s 1)
( m s 1)
(Tnv s 1)
lsim0 G0(s) 1
E(s)
1
1
e(s)
R(s)
1 G1(s)H (s)
1
K sv
G0 (s)
essp