3．如图 Z4－3，一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 m，管内有少量的污水， 此时的水面宽 AB 为 0.6 m.
图 Z4－3 (1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高)； (2)当水位上升到水面宽为 0.8 m 时，求水面上升的高度．
解：(1)如答图，作半径 OD⊥AB 于点 C，连接 OB，
图Z4－6
解：(1)如答图，连接 FA， ∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB， ∵BE＝AE，∴BF＝AF， ∵∠FEA＝∠FEB＝90°，∴AF 是⊙O 的直径， ∴AF＝DE，∴BF＝ED， 在 Rt△EFB 与 Rt△ADE 中，BE＝AE，BF＝DE， ∴Rt△EFB≌Rt△ADE；
变式跟进5答图
变式跟进4答图
5．如图 Z4－6，已知 ED 为⊙O 的直径且 ED＝4，点 A(不与 E，D 重合)为⊙O 上一个动点，线段 AB 经过点 E，且 EA＝ EB，F 为⊙O 上一点，∠FEB＝90°，BF 的延长线交 AD 的 延长线于点 C. (1)求证：△EFB≌△ADE； (2)当点 A 在⊙O 上移动时，直接写出四边形 FCDE 的最大面 积为多少．
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为 0.4＋0.3＝0.7.
综上可得，水面上升的高度为 0.1 m 或 0.7 m.
题型三 圆周角定理的综合 典例 如图 Z4－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝ ___3_5_°___． 【解析】 ∵⊙O 是△ABC 的外接圆， ∴∠C＝12∠AOB＝35°，又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C ＝35°.
由垂径定理，得 BC＝12AB＝0.3，
在 Rt△OBC 中，OC＝ OB2－BC2＝0.4，
∴CD＝0.5－0.4＝0.1，此时的水深为 0.1 m；
(2)当水位上升到圆心以下时，水面宽 0.8 m， 则 OC＝ 0.52－0.42＝0.3，
变式跟进 3 答图
水面上升的高度为 0.2－0.1＝0.1；
题型二 垂径定理及其推论 典例 如图 Z4－1，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为( D )
A．5
B．6
图 Z4－1 C．7
D．8
【解析】 如答图所示，连接 OA，
∵⊙O 的直径 CD＝10，∴OA＝5，
∵弦 AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝12AB＝12×8＝4，
专题4 圆的基本性质
题型一 点与圆的位置关系
典例 若⊙O 的半径为 5 cm，平面上有一点 A，OA＝6 cm，那么点 A 与⊙O 的位置
关系是( A )
A．点 A 在⊙O 外
B．点 A 在⊙O 上
C．点 A 在⊙O 内
D．不能确定
【解析】 ∵⊙O 的半径为 5 cm，OA＝6 cm，∴d＞r，
题型四 直线与圆的位置关系
典例 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(sin45°，cos30°)的直线与以原点为圆心，2
为半径的圆的位置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三者都有可能
【解析】 如答图，设直线经过的点为 A，
在 Rt△AOM 中，OM＝ OA2－AM2＝ 52－42＝3，
典例答图
∴DM＝OD＋OM＝5＋3＝8.
【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的
半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．
变式跟进 2.[2019·菏泽]如图 Z4－2，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且 BC 平分∠ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E，F，则下列结论不一定成立的是
(2)∵Rt△EFB≌Rt△ADE， ∴∠B＝∠AED，∴DE∥BC， ∵ED 为⊙O 的直径，∴AC⊥AB， ∵EF⊥AB，∴EF∥CD， ∴四边形 FCDE 是平行四边形， ∴E 到 BC 的距离最大时，四边形 FCDE 的面积最大，即点 A 到 DE 的距离最大， ∴当 A 为弧 DE 的中点时，点 A 到 DE 的距离最大，最大值是 2， ∴四边形 FCDE 的最大面积为 4×2＝8.BED
图 Z4－2 B．AD⊥OC D．AF＝FD
【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD， ∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC， ∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项 A 成立； ∴AD⊥OC，选项 B 成立；∴AF＝FD，选项 D 成立； ∵△CEF 和△BED 中没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项 C 不成立， 故选 C.
∴点 A 与⊙O 的位置关系是点 A 在⊙O 外．
变式跟进 1.若圆的半径为 5，圆心的坐标是(0，0)，点 P 的坐标是(4，3)，则点 P
与⊙O 的位置关系是( A )
A．点 P 在⊙O 上
B．点 P 在⊙O 内
C．点 P 在⊙O 外
D．点 P 不在⊙O 上
【解析】 由勾股定理得 OP＝ 32＋42＝5，∵⊙O 的半径为 5，∴点 P 在⊙O 上．
图Z4－4
【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等， 则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或 证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论， 是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是 90°， 从而获得直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等 于圆周角的 2 倍以及同弧所对的圆周角相等．
变式跟进 4. [2018·淮安]如图 Z4－5，点 A，B，C 都在⊙O 上，若∠AOC＝140°， 则∠B 的度数是( C )
A．70° C．110°
图 Z4－5 B．80° D．140°
【解析】如答图，在优弧 AC 上任取一点 D，连接 AD，CD，则∠ADC ＝12∠AOC＝70°，又∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形，故∠B＝ 180°－∠ADC＝110°，故选 C.