1 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝124(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32b .点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →＝0， 即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →. 延长AM ，交BC 于点D ，所以点D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. 答案 3点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.解 因为DE ∥BC ，AD →＝23AB →，所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a ).又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ，所以DN →＝12DE →＝13(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b ).点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.2 走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区. 一、理解失误例1 已知e 1、e 2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________.(填序号) ①e 1、e 2两个向量可以共线，也可以是零向量； ②λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数对. 错解 ①②③正解 由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误.故正确答案为②. 答案 ②点评 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a 都可用e 1、e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底. 二、考虑不全例2 与向量d ＝(12，5)平行的单位向量为( ) A.(1213，513) B.(－1213，－513)C.(1213，513)或(－1213，－513)D.(±1213，±513)错解 由题意得|d |＝13，则与d ＝(12，5)平行的单位向量为(1213，513)，故选A.正解 与d ＝(12，5)平行的单位向量为(1213，513)或(－1213，－513).故选C.答案 C点评 与d 平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况. 三、概念混淆例3 已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和向量MN →的坐标.错解 A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6，3)，CM →＝3CA →＝(3，24)，CN →＝2CB →＝(12，6)， 所以点M (3，24)，点N (12，6)， MN →＝(9，－18).正解 已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4). 所以CA →＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6，3)，CM →＝3CA →＝(3，24)，CN →＝2CB →＝(12，6). 又C (－3，－4)，所以点M (0，20)，点N (9，2)， 所以MN →＝(9－0，2－20)＝(9，－18).点评 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等.3 平面向量的基本定理应用三技巧技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋y 2e 2，则用⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2”来求解.例1 在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b表示向量OP →.解 ∵B ，P ，M 共线，∴存在常数s ，使BP →＝sPM →，则OP →＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.即OP →＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )，OA →＝s 3(1＋s )a ＋11＋s b . ①同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →， 则OP →＝11＋t a ＋t 4(1＋t )b .②∵a ，b 不共线，∴由①②得⎩⎨⎧11＋t ＝s3(1＋s )，t 4(1＋t )＝11＋s ，解得⎩⎨⎧s ＝92，t ＝83，∴OP →＝311a ＋211b .点评 这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解.例2 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.(1)解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线， ∴AM →与AD →共线， ∴12(m －1)－(－1)×n ＝0， ∴m ＋2n ＝1.①而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线， ∴CM →与CB →共线， ∴－14n －(m －14)＝0，∴4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明 EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b .∵EF →与EM →共线， ∴(17－p )q －37×(－p )＝0， ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q＝1. 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三 将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解.例3 如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设点Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用向量p 表示CQ →.解 ∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →，∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0.又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0， ∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0. 而BQ →，QP →为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0，∴λ＝－2，μ＝－1. ∴CP →＝－QP →＝PQ →. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .点评 这里选取BQ →，QP →两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.4 直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析. 一、直线的方向向量 1.定义设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2―→以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2―→的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k )是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A ). 2.应用 (1)求直线方程例1 已知三角形的三顶点坐标分别为A (2，－3)，B (－7，9)，C (18，9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程. 解 ①求中线方程由于CB →＝(－25，0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →＝(－41，－12)，也就是⎝⎛⎭⎫1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝1241(x －18)，整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程由于k AB ＝9＋3－7－2＝－43，因而直线AB 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，－43. 而AB 边上的高CE ⊥AB ， 则直线CE 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝34(x －18)，整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程 CB →|CB →|＝(－1，0)，CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－45，－35， 则∠C 的内角平分线的方向向量为 CB →|CB →|＋CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－95，－35，也就是⎝⎛⎭⎫1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝13(x －18)，整理得x －3y ＋9＝0.点评 一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. (2)求直线夹角例2 已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π4，求m 的值.解 直线l 1的方向向量为v 1＝(－3，1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1，3m ). ∵l 1与l 2的夹角为π4，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m 2＝22，化简得18m 2＋9m －2＝0，解得m ＝－23或m ＝16.点评 一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.二、直线的法向量 1.定义直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量.因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B ). 2.应用(1)判断直线的位置关系例3 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值.解 直线l 1，l 2的法向量分别为n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a )，(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a (2a －1)＋(－1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴当a ＝0或1时，l 1⊥l 2. (2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2－(2a －1)×(－1)＝0，解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1a ≠2.∴当a ＝－1±2时，l 1∥l 2.点评 一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合. (2)求点到直线的距离例4 已知点M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点. 求证：点M (x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.证明 设P (x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，B ).则M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上正射影的数量，如图所示，d ＝|PM →|·|cos 〈PM →，n 〉| ＝|PM ，→·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|A 2＋B 2＝|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2.∵点P (x 1，y 1)在直线l 上， ∴Ax 1＋By 1＋C ＝0， ∴Ax 1＋By 1＝－C ， ∴d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.点评 同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.证明过程如下：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B )，则P 1P ―→2＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的正射影的数量，就是两平行线l 1、l 2的距离. d ＝|P 1P →2||cos 〈P 1P →2，n 〉|＝|P 1P ―→2·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 2－x 1)＋B (y 2－y 1)|A 2＋B 2高中数学-打印版最新版高中数学 ＝|(Ax 2＋By 2)－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.。