2007年高等数学竞赛培训班线面积分练习题参考解答一.填空题(每小题3分,共15分)1.设L 为椭圆22143y x +=，其周长为a ，则222(234)d 12L a xy x y s ++=⎰Ñ. 解：222222(234)d 2d (34)d 012d 12LLLLxy x y s xy s x y s s a ++=++=+=⎰⎰⎰⎰蜒蜒. 2.设∑:1x y z ++=，则()dx y S ∑+=⎰⎰解：()d d d x y S x S y S ∑∑∑+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()8110d d 333x y z S S ∑∑∑=+++==⎰⎰⎰⎰88d d 33xyxyD D x y x y ==⎰⎰⎰⎰3.密度为0μ的均匀金属丝2222:0 x y z R x y z Γ⎧++=⎨++=⎩对于x 轴的转动惯量304π 3x R I μ=.解：22222220000222()d ()d d 2π333x I y z s xy z s R s R R ΓΓμμμμΓ=+=++==⋅⎰⎰⎰蜒? 304π3R μ=.4.设22:(1)2L x y ++=，则 22d d 23π Lx y y xx y y -=+--++⎰Ñ.解： 22d d 23Lx y y x x y y --=+++⎰Ñ 222(1)2d d 11(11)d ππ2242L x y x y y x σ-++≤-=-+=-=-+⎰⎰⎰Ñ.5.设:z ∑=，则2d d cos d d d d 2π3I x y z y z x z x y ∑=++=⎰⎰下侧. 解：22212d d cos d d d d 00d π3x y I x y z y z x z x y x y ∑∑∑+≤=++=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧下侧.评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意1z =①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；②与Riemann 积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面∑关于0x =（即yOz 平面）对称（包括侧也对称），则有0, (,,)d d 2( d , ,,)d f f x y z y z f x y z y z x x f ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰半若为的函数，若函数.奇为的偶③也可利用轮换对称性。

二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内)1.设曲线积分2d ()d Cxy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ有连续的导数，且(0)0ϕ=，则(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰等于(A)1. (B) 0. (C) 21. (D)12. 答: ( D )解：(1,1)1122(0,0)0011d ()d (0)d 1d 0.22xy x y x y y y x x ϕϕ+=+⋅=+=⎰⎰⎰ 2. 设222: 1 (0)S x y z z ++=≥,1S 是S 在第一卦限中的部分，则有 (A) 1d 4d SS x S x S =⎰⎰⎰⎰. (B) 1d 4d SS y S x S =⎰⎰⎰⎰.(C)1d 4d SS z S x S =⎰⎰⎰⎰. (D) 1d 4d SS xyz S xyz S =⎰⎰⎰⎰. 答: ( C )解：因为222: 1 (0)S x y z z ++=≥关于0x =对称，关于0y =也对称，且x 和xyz都是x 的奇函数、y 是y 的奇函数，于是d 0,d 0,d 0SSSx S xyz S y S ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，但114d 0,4d 0S S x S xyz S >>⎰⎰⎰⎰，故（A ）、（B ）、（D ）都不对.事实上，将d Sz S⎰⎰视为密度z μ=时S 的质量，则显然有1d 4d SS z S z S =⎰⎰⎰⎰，再由,,x y z 在1S 上的轮换对称性有11d 4d 4d SS S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 设2222{(,,)}x y z x y z a ∑=++=，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（A ）22d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. （B ）2d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外.（C ）d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. （D ）d ,d d xy S y z x ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. 答: ( B )解：因为∑关于0x =（即yOz 平面）对称，x 和xy 是x 的奇函数，而2x 是x 的偶函数，故第一类曲面积分d 0,d 0xy S x S ∑∑==⎰⎰⎰⎰ÒÒ，4224πd 2d 3R x S x S ∑∑==⎰⎰⎰⎰乙半；而第二类曲面积分22234πd d 2d d 2d 3y z R R x y z x y z y z ∑∑+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙外上侧上半，2d d 0x y z ∑=⎰⎰Ò外.类似地，有34πd d 2d d 3R y z x y z x ∑∑==⎰⎰⎰⎰乙外前侧前半. 4.设曲线L ：(,) 1 (,)f x y f x y =(具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和第IV 象限的点N ,Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列积分小于零．．．的是 (A)(,)d f x y x Γ⎰. （B ）(,)d f x y y Γ⎰.（C ）(,)d f x y s Γ⎰. （D ）(,)d (,)d x y f x y x f x y y Γ''+⎰. 答：（B ）解： (,)d d d 0,f x y x x x ΓΓ-+==>⎰⎰⎰不选（A）；(,)d d d 0,f x y y y x ΓΓ-+==<⎰⎰⎰选（B）；(,)d d 0,f x y s s ΓΓ=>⎰⎰不选（C）；(,)d (,)d d (,)d (,)()()110,Nx y Mf x y x f x y y f x y f x y f N f M ΓΓ''+===-=-=⎰⎰⎰不选（D ）.5.设()22: 1z x y z ∑=+≤，22:1xy D x y +≤，则d d z y z ∑⎰⎰外可化为二重积分(A)22()2d d xyD xy x x y +⋅⎰⎰. (B)22()(2)d d xyD xy x x y +⋅-⎰⎰.(C)22()2d d xyD x y y x y +⋅⎰⎰. (D) 22()d d xyD x y x y +⋅⎰⎰. 答: ( A ) 解：因为cos d d cos d d d cos y z S x y ααγ==（一般地有d d d d d d cos cos cos y z x yz x αβγ==），而()22: 1z x y z ∑=+≤的外侧即下侧，故d d d d 2d d x y z z x y x x y '=-=-，所以d d z y z ∑⎰⎰外2222()(2)d d ()2d d xyxyD D x y x x y x y x x y =-+⋅-=+⋅⎰⎰⎰⎰. 三.(本题6分) 计算222222()d (2)d (3)d LI y z x z x y x y z =-+-+-⎰Ñ，其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向. 解：设∑为平面2x y z ++=上由L 所围成部分的上侧，xy D 是∑在xOy 面上的投影域，则∑的法向量的方向余弦为cos cos cos αβγ===，:1xy D x y +≤，∑的曲面面积元素d d S x y =. 由Stokes 公式，得222222()d (2)d (3)d LI y z x z x y x y z =-+-+-⎰Ñ222222d 23S x y z y z z x x y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(846)d x y z S ∑=---(423)d (d xyD x y z S x y x y ∑=++=-+⎰⎰22006d d 1224xy D x y ⎡⎤⎢⎥=-++=-⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.另解：将其化为平面曲线积分.记L 在xOy 面上的投影曲线为C ，则:C 1x y +=，取逆时针方向，C 所围域记为xy D .因为2z x y =--，d d d z x y =--，故原积分可化为22222222[(2)]d [2(2)]d (3)d (3)d CI y x y x x y x y x y x x y y =---+-------⎰Ñ 2222[4442]d [28843]d Cx x y xy y x x x y xy y y =-++-++----++⎰Ñ(2212)d d 0012d d 24xyxyD D x y x y x y -+-=+-=-=⎰⎰⎰⎰格林公式.四.(本题6分) 求密度为0μ的均匀半球壳:z ∑=z 轴的转动惯量.解：222222200()d (d z x y R I x y S x y x y ∑μμ+≤=+=+⎰⎰⎰⎰22π 200 001d d 2π2RRR R t μθρρρμ==⋅⎰⎰⎰222324200024π222π()π33RRR t R R t R μμμ⎡⎤-=-+=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰. 五．（本题6分）计算222()dLx y z s++⎰，其中L是球面22292x y z++=与平面1y z+=的交线.解：方法一因为L的方程可表示为()22121421yxz y⎧-⎪+=⎨⎪=-⎩，则其参量方程为2cos1 (02π)212xyzθθθθ⎧=⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪=⎩.故222()dLx y z s++⎰ 2π 2π0 0999d2d18π222Lsθθ====⎰⎰⎰.方法二222()dLx y z s++⎰9d2Ls=⎰99d22LLs s==⎰（L s表示L的弧长）；而22292:1x y zLy z⎧++=⎪⎨⎪+=⎩显然是平面1y z+=上的圆周，为求周长只需求出其直径d即可. 在L的方程中令0x=得圆周上的两点：(110,,22A+和(110,22B，易知AB就是L的一条直径，于是4d AB==.所以222()dLx y z s++⎰99d22LLs s==⎰9π4=18π2=⋅⋅.六．(本题6分)计算积分)d dLI x y y x=+⎰，其中L是依次联结点(1,0)A-、(2,2)B和(1,0)C的有向折线段.解：直接计算较繁.添加直线段CA，构成闭合曲线L CA+，使用格林公式.记L CA+所围域为D.,P y Q x==，2Q Px y∂∂-=-∂∂，故)d d LI x y y x =+⎰()[d )d ]L CACAy x x y +=-+⎰⎰Ñ()111(2)d d 0d 22242Dx y x -=--=⋅=-⋅⎰⎰⎰.七．(本题6分) 设对于半空间0x >内任意的简单光滑有向闭合曲面∑，都有2()d d ()d d e d d 0x xf x y z yf x z x xz x y ∑--=⎰⎰Ò， 其中()f x 有连续导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x . 解：设∑所围成的有界闭域为Ω，由题设及Gauss 公式得20()d d ()d d e d d xxf x y z yf x z x xz x y ∑=--⎰⎰Ò 2[()()()e ]d x f x xf x f x x V Ω'=±+--⎰⎰⎰2[()e ]d x xf x x V Ω'=±-⎰⎰⎰.由∑的任意性，知2()e 0x xf x x '-=，即2()e x f x '=，解得21()e 2x f x C =+.由0lim ()1x f x +→=得12C =，故2e 1()2xf x +=. 八.(本题6分) 计算曲面积分d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑是曲面221 (01)4yz x z =--≤≤的上侧. 解: 取S 为xOy 平面上由椭圆2214y x +=所围部分的下侧，由∑和S 所围空间区域记为Ω.由Gauss 公式，得()2214d d 2d d 3d d 20d 3d d S S y x I xz y z zy z x xy x y z z V xy x y ∑Ω++≤⎛⎫⎛⎫ ⎪=-++=++-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò 221100143d d 032π(1)d π.y x zz zz z z σ+≤-=-=-=⎰⎰⎰⎰九. (本题8分) 计算曲面积分()32222d d d d d d x y z y z x z x yI xy z∑++=++⎰⎰，其中∑是曲面()()16125211022-+--=y x z在xOy 平面之上的部分的上侧.解: ()23222z y xxP ++=,()23222z y x yQ ++=,()23222z y x zR ++=,除点()0 ,0 ,0O 外,z R y Q x P ∂∂∂∂∂∂,,处处连续,且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . ∑为顶点在()10 ,1 ,2的椭圆锥面的一部分,它在xOy 面上的投影域为xyD :()()141522222≤-+-y x .采用《挖洞法》：设0>ε充分小,取-S 为222 :y x z S --=ε之下侧,又取1∑-为平面域}),{(\222ε<+y x y x D xy 之下侧,于是1S ∑∑++构成一封闭曲面,记其所围成的空间域为Ω.由Gauss 公式得11(S S I ∑∑∑+----++∴=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò⎰⎰⎰Ω=z y x d d d 0⎰⎰+∑+1(++=00⎰⎰+S y x d d 13ε22223 013d d x y z z x εε++≤≥⎡⎢=⎢⎢⎣⎰⎰⎰ 十. (本题6分) 计算积分d ∑⋅⎰⎰rot F S ，其中32()()3x z x yz xy =-+-F i +j k ，∑是锥面 2z =xOy 面上方的部分，取上侧.解：设∑的边界曲线为Γ，则224:0x y z Γ⎧+=⎨=⎩，取逆时针方向.故由Stokes 公式得d ∑⋅⎰⎰rot F S d Γ=⋅=⎰ÑF s 32()d ()d 3d x z x x yz y xy z Γ-+--⎰Ñ 3(0)d (0)d 0x x x y Γ=-+--⎰Ñ3d d x x x y Γ=+⎰Ñ 22243d d x y x x y +≤==⎰⎰格林公式2π 223 0 0163cos d d 3π12π4θθρρ=⋅⋅=⎰⎰.十一. (本题6分)设2222:22220x y z ax ay az a ∑++---+=（0a >），求()d I x y z S ∑=++⎰⎰Ò解：方法一 （直接计算） 因为()()()2222:x a y a z a a ∑-+-+-=，故由轮换1对称性得 3d I z S ∑=⎰⎰Ò3()d 3d z a S a S ∑∑=-+⎰⎰⎰⎰乙23034π12πa a a =+⋅=. 方法二（利用形心坐标公式）显然()()()2222:x a y a z a a ∑-+-+-=的形心坐标为(,,)(,,)x y z a a a =，于是2d d 4πx S x S a x Sa∑∑===⎰⎰⎰⎰乙，由此得3d 4πx S a ∑=⎰⎰Ò；同理有3d 4πy S a ∑=⎰⎰Ò，3d 4πz S a ∑=⎰⎰Ò； 故 312πI a =.十二. (本题6分)计算曲线积分⎰++++++Γz y x y x z x z y 222222d )(d )(d )(,其中Γ为曲线⎩⎨⎧=+=++ 2222222ax y x Rxz y x (0,0≥<<z R a ), +Γ与Oz 轴正向成右手系. 解: 取Stokes 公式中的S 为曲面222y x Rx z --=的上侧（注意：S 关于0y =对称）,其上任意一点),,(z y x 处的单位法向量},,{0Rz R yR R x -=n ,S 在xOy 平面的投影域为:xy D ax y x 222≤+.于是原式S y x x z z y z y x Rz R y R R x Sd 222222⎰⎰+++∂∂∂∂∂∂-= S R z y x R yx z R x z y S d ])()()1)([(2⎰⎰-+-+--=S y z Sd )(2⎰⎰-=2d 0xyD x y =+⎰⎰22πRa =.十三. (本题8分)1. 设()f u 是连续函数，Γ为任意分段光滑的有向简单闭曲线，试证：222()(d d d )0.f x y z x x y y z z Γ++++=⎰Ñn2.设在上半平面{}(,)0D x y y =>内，(,)f x y 具有连续的偏导数，且0t ∀>，都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=，证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰Ñ.证：1.设()f u 的一个原函数为()F u ，则2222221 ()(d d d )d ()02f x y z x x y y z z F x y z ΓΓ++++=++=⎰⎰蜒.2.21(,),(,),(,)(,),(,)(,).QP P yf x y Q xf x y f x y yf x y f x y xf x y y x∂∂''==-=+=--∂∂ 由题设：(,),0x y D t ∀∈∀>，有2(,)(,)f tx ty t f x y -=.两边对t 求导，得312(,)(,)2(,).xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-令1t =得12(,)(,)2(,),xf x y yf x y f x y ''+=-即21(,)(,)(,)(,).Q P f x y yf tx ty f x y xf x y y x∂∂''=+=--=∂∂ 所以(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰Ñ.。