2008河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分）1．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[)2,1-D ．()2,1-【答案】C【解析】由1020x x ->⎧⎨+≥⎩可得21x -≤<，故选C ．2．312cos limsin 3x xx ππ→-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．0CD【答案】D【解析】3312cos 2sin limlim sin cos 33x x x xx x ππππ→→-==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3．点0x =是函数113131xxy -=+的（ ）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点【答案】 【解析】11311lim 1131xx x-→--==-+，11031lim 131xx x +→-=+，故选B ．4．下列极限存在的是（ ）A ．lim xx e →+∞B ．0sin 2lim x xx →C ．01lim cosx x+→ D ．22lim 3x x x →+∞+-【答案】B 【解析】0sin 2lim2x xx→=，其他三个都不存在，应选B ．5．当0x →时，2ln(1)x +是比1cos x -的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小【答案】D【解析】0x →时，22ln(1)~x x +，211cos ~2x x -，故选D ．6．设函数11(1)sin ,11()1,10arctan ,0x x x f x x x x ⎧++<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，则()f x （ ）A ．在1x =-处连续，在0x =处不连续B ．在0x =处连续，在1x =-处不连续C ．在1,0x =-处均连续D ．在1,0x =-处均不连续【答案】A【解析】1lim ()1x f x -→-=，1lim ()1x f x +→-=，(1)1()f f x -=⇒在1x =-处连续；0lim ()1x f x -→=，0lim ()0x f x +→=，(0)1()f f x =⇒在0x =处不连续，应选A ．7．过曲线arctan x y x e =+上的点(0,1)处的法线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y --=D ．220x y +-=【答案】D 【解析】211x y e x'=++，02x y ='=，法线的斜率12k =-，法线方程为112y x -=-，即220x y +-=，故选D ．8．设函数()f x 在0x =处满足，()(0)3()f x f x x α=-+，且0()lim0x x xα→=，则(0)f '=（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．3【解析】000()(0)3()()(0)limlim 3lim 30x x x f x f x x x f x x xαα→→→--+'===-+=--，应选C ．9．若函数()(ln )(1)x f x x x =>，则()f x '=（ ） A ．1(ln )x x - B ．1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -+C ．(ln )ln(ln )x x xD ．(ln )x x x【答案】B【解析】ln(ln )()(ln )x x x f x x e ==，[]11()(ln )ln(ln )(ln )ln(ln )ln x x f x x x x x x x x x ⎡⎤''==+⋅⋅⎢⎥⎣⎦1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -=+，故选B ．10．设函数()y y x =由参数方程33cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ） A ．2- B ．1- C．3-D．3【答案】D【解析】223sin cos sin 3cos sin cos dy dy dt t t t dx dx dt t t t ===--，22d y dx =1d dy dx dt dx dt⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭2211cos 3cos sin x t t-=⋅- 413cos sin t t =，224|t d y dx π==，故选D ．11．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x=【答案】C【解析】验证罗尔定理得条件，只有21y x =-满足，应选C ．12．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ．0x =B ．(0,2)-C ．无拐点D ．0,2x y ==-【解析】235y x '=+，6y x ''=，令0y ''=，得0x =，当0x >时，0y ''>，当0x <时，0y ''<，故拐点为(0,2)-，应选B ．13．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．只有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B 【解析】1lim 0|1|x x →∞=-，曲线有水平渐近线0y =；1lim |1|x x →∞=∞-，曲线有垂直渐近线1x =，故选B ．14．如果()f x 的一个原函数是ln x x ，那么2()x f x dx ''=⎰（ ）A ．ln x C +B ．2xC +C ．3ln x x C +D ．C x -【答案】D【解析】()(ln )1ln f x x x x '==+，21()f x x''=-，2()x f x dx dx x C ''=-=-+⎰⎰，应选D ． 15．243dxx x =-+⎰（ ）A ．13ln 21x C x -+-B ．1ln3x C x -+-C ．ln(3)ln(1)x x C ---+D ．ln(1)ln(3)x x C ---+【答案】A 【解析】211113ln 43(3)(1)23121dx dx x dx C x x x x x x x -⎛⎫==-=+ ⎪-+-----⎝⎭⎰⎰⎰，应选A ．16．设14011I dx x =+⎰，则I 的取值范围为（ ）A ．01I ≤≤B ．112I ≤≤ C ．04I π≤≤D ．14I π<<【答案】B【解析】因01x ≤≤，411121x ≤≤+，根据定积分的估值性质，有112I ≤≤，故选B ．17．下列广义积分收敛的是（ ）A ．31x dx +∞⎰B ．1ln xdx x+∞⎰C ．1⎰D ．0x e dx +∞-⎰【答案】D【解析】D 项中001x xe dx e +∞--+∞=-=⎰，故收敛．18．331xdx --=⎰（ ）A ．3021x dx -⎰B ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰C ．1331(1)(1)x dx x dx ----⎰⎰ D ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰【答案】D【解析】3131333131111(1)(1)xdx xdx xdx x dx x dx ----=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰，故选D ．19．若()f x 是可导函数，()0f x >，且满足220()sin ()ln 221cos x f t tf x dt t=-+⎰，则()f x =（ ） A ．ln(1cos )x + B ．ln(1cos )x C -++C ．ln(1cos )x -+D ．ln(1cos )x C ++【答案】A【解析】对220()sin ()ln 221cos x f t t f x dt t =-+⎰两边求导有()sin 2()()21cos f x xf x f x x'=-+，即 sin ()1cos x f x x '=-+，从而sin (1cos )()ln(1cos )1cos 1cos x d x f x dx x C x x+=-==++++⎰⎰．由初始条件(0)ln 2f =，代入得0C =，应选A ．20．若函数()f x 满足111()1()2f x x f x dx -=+-⎰，则()f x =（ ）A ．13x -B ．12x -C ．12x +D ．13x +【答案】C【解析】令11()a f x dx -=⎰，则1()12f x x a =+-，从而11111()122a f x dx x a dx a --⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，得1a =，故1()2f x x =+，应选C ．21．若320()eI x f x dx =⎰，则I =（ ）A ．2()e xf x dx ⎰B ．0()exf x dx ⎰C ．21()2e xf x dx ⎰D ．1()2exf x dx ⎰ 【答案】C【解析】32222001()()2ee I xf x dx x f x dx ==⎰⎰，令2t x =，则220011()()22e e I tf t dt xf x dx ==⎰⎰，故选C ．22．直线24:591x y zL ++==与平面:4375x y z π-+=的位置关系是（ ）A ．斜交B ．垂直C ．L 在π内D ．L π【答案】D【解析】直线的方向向量(5,9,1)=s ，平面的法向量(4,3,7)=-n ，由0⋅=s n 得⊥s n ，而点(2,4,0)--不在平面内，故平行，应选D ．23．220x y →→=（ ）A ．2B ．3C ．1D ．不存在【答案】A【解析】22000001)2x x x y y y →→→→→→===，故选A ．24．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程为（ ）A ．245x y z +-=B ．425x y z +-=C ．245x y z +-=D ．245x y z -+=【答案】A【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，(1,2,5)2x F =，(1,2,5)4y F =，(1,2,5)1z F =-，得切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=，故选A ．25．设函数33z x y xy =-，则2zy x∂=∂∂（ ）A ．6xyB ．2233x y -C ．6xy -D ．2233y x -【答案】B【解析】323z x xy y ∂=-∂，22233z x y y x∂=-∂∂，应选B ．26．如果区域D 被分成两个子区域12,D D ，且1(,)5D f x y dxdy =⎰⎰，2(,)1D f x y dxdy =⎰⎰，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）A ．5B ．4C ．6D ．1【答案】C【解析】根据二重积分的可加性，(,)6Df x y dxdy =⎰⎰，应选C ．27．如果L 是摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩上从点(2,0)A π到点(0,0)B 的一段弧，则曲线积分231(3)sin 3xLx y xe dx x y y dy ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．2(12)1e ππ--B ．22(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦C ．23(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦D ．24(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦【答案】C 【解析】因2P Qx y x ∂∂==∂∂，从而此积分与路径无关，取直线段0x x y =⎧⎨=⎩，x 从2π变成0，则002302221(3)sin 333()3x xx x x L x y xe dx x y y dy xe dx xde xe e πππ⎛⎫++-===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰23(12)1e ππ⎡⎤=--⎣⎦．28．通解为x Ce （C 为任意常数）的微分方程为 （ ）A ．0y y '+=B ．0y y '-=C ．1y y '-=D ．10y y '-+=【答案】B【解析】x y Ce =，x y Ce '=，从而0y y '-=，故选B ．29．微分方程x y y xe -'''+=的特解形式应设为*y = （ ）A ．()x x ax b e -+B ．ax b +C ．()x ax b e -+D ．2()x x ax b e -+【答案】A【解析】特征方程为20r r +=，特征根为10r =，21r =-，1-是特征方程的单根，应设*y =()x x ax b e -+，应选A ．30．下列四个级数中，发散的是（ ）A ．11!n n ∞=∑B ．1231000n n n ∞=-∑C ．12n n n∞=∑D ．211n n ∞=∑【答案】B【解析】231lim 01000500n n n →∞-=≠，故级数1231000n n n∞=-∑发散，应选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）31．0lim ()x x f x A →=的________条件是0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．【答案】充分必要（或充要） 【解析】显然为充分必要（或充要）．32．函数sin y x x =-在区间(0,2)π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．【答案】增加（或递增），凹【解析】1cos 0y x '=->⇒在(0,2)π内单调增加，sin y x ''=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内大于零，应为凹的．33．设方程22232x y z a ++=（a 为常数）所确定的隐函数为(,)z f x y =，则zx∂=∂________． 【答案】【解析】222(,,)32F x y z x y z a =++-，则6x F x =，2z F z =，故3x z F z xx F z∂=-=-∂． 34．=________．【答案】2ln(1C -++ 【解析】令t =2dx tdt =，212122ln(1)2ln(121t dt dt t t C C t t ⎛⎫==-=-++=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰．35．331cos xdx x ππ-=+⎰________．【答案】0【解析】1cos x y x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是奇函数，故3301cos x dx x ππ-=+⎰．36．在空间直角坐标系中以点(0,4,1)A -，(1,3,1)B --，(2,4,0)C -为顶点的ABC ∆面积为________．【解析】(1,1,0)AB =-，(2,0,1)AC =-，110(1,1,2)201AB AC ⨯=-=----i j k，故ABC ∆的面积为1122S AB AC =⨯=37．方程221942x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩在直角坐标系下的图形为________．【答案】两条平行直线【解析】椭圆柱面与平面2x =-的交线，为两条平行直线．38.函数33(,)3f x y x y xy =+-的驻点________． 【答案】【解析】由22330330fx y xf y x y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，可得驻点为(0,0)，(1,1)．39．若21z x y e -=+(1,0)|zx ∂=∂________． 【答案】0【解析】(1,0)(,0)000|z zz x x x ∂∂=⇒=⇒=∂∂．40．440cos xydx dy yππ=⎰⎰________．【解析】44444000cos cos cos sin y xy y dx dy dy dx ydy yy yπππππ====⎰⎰⎰⎰⎰．41．直角坐标系下二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰（其中D 为环域2219x y ≤+≤）化为极坐标形式为________．【答案】231(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰【解析】231(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰．42．以3312x x y C e C xe --=+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________．【答案】690y y y '''++=【解析】由通解3312x x y C e C xe --=+可知，有二重特征根3-，从而微分方程为690y y y '''++=．43．等比级数()00n n aq a ∞=≠∑，当________时级数收敛；当________时级数发散． 【答案】1q <，1q ≥【解析】级数0n n aq ∞=∑是等比级数，当1q <时，级数收敛，当1q ≥时，级数发散．44．函数21()2f x x x =--展开成x 的幂级数________． 【答案】11011(1)32n n n n x ∞++=-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑，11x -<< 【解析】211111111()231231612f x xx x x x x ⎛⎫==-+=-⋅-⋅ ⎪--+-+⎝⎭- 110001111(1)(1)36232n n n n n n n n n n x x x ∞∞∞++===-⎡⎤=---=+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，11x -<<．45．12nn n n ∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是敛散性为________的级数． 【答案】发散 【解析】(2)2222lim lim 10n n n n n e n n -⋅--→∞→∞-⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，级数发散．三、计算题（每小题5 分，共40 分）46．求252222lim 3x x x x +→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭． 【答案】52e【解析】222225535552225232222255lim lim 1lim 1333x x x x x x x x x e x x x ++-+⋅⋅-→∞→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．47．2400lim x x x →⎰． 【答案】【解析】24300lim 2x x x x x →→→===⎰．48．已知lnsin(12)y x =-，求dy dx ． 【答案】2cot(12)x -- 【解析】lnsin(12)1cos(12)(2)2cot(12)sin(12)dy d x x x dx dx x -==⋅-⋅-=---．49．计算arctan x xdx ⎰．【答案】 【解析】2221111arctan arctan arctan 12221x xdx xdx x x dx x ⎛⎫==-- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ 22111arctan (arctan )(arctan arctan )222x x x x C x x x x C =--+=-++．50．求函数cos()x z e x y =+的全微分．【答案】[]cos()sin()sin()x x e x y x y dx e x y dy +-+-+ 【解析】cos()sin()x x z e x y e x y x∂=+-+∂，sin()x z e x y y ∂=-+∂，故 []cos()sin()sin()x x z z dz dx dy e x y x y dx e x y dy x y∂∂=+=+-+-+∂∂．51． 计算2D x d y σ⎰⎰，其中D 为由2y =，y x =，1xy =所围成的区域． 【答案】1724【解析】根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积x 后积y ，交点坐标为(2,2)，(1,1)，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故222122221111117224y y Dx x d dy dx y dy y y y y σ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程sin cos x y y x e -'+=满足初始条件(0)1y =-的特解．【答案】sin (1)x y e x -=-【解析】()cos P x x =，sin ()x Q x e -=，则通解为cos cos sin sin ()xdx xdx x x y e e e dx C e x C ---⎛⎫⎰⎰=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(0)1y =-，所以1C =-，特解为sin (1)x y e x -=-．53．求级数031nn n x n ∞=+∑的收敛半径与收敛区间（考虑端点）． 【答案】11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】1131lim lim 323n n n n n na n a n ρ++→∞→∞+==⋅=+，收敛半径113R ρ==． 当13x =时，级数为011n n ∞=+∑，该级数发散；当13x =-时，级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，该级数收敛， 故收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．过曲线2y x =上一点(1,1)M ，作切线L ，D 是由曲线2y x =，切线L 及x 轴所围成的平面图形．求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】（1）112 （2）30π【解析】（1）曲线2y x =在(1,1)M 处的切线斜率为2，过M 点的切线方程为21y x =-，切线与x 轴的交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则平面图形D 的面积 123100111111223412A x dx x =-⋅⋅=-=⎰． （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为12225100111()1325630V x dx x πππππ=-⋅⋅⋅=⋅-=⎰．55．一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽（图略），要使等腰梯形的面积A 最大，求腰长x 和它对底边的倾斜角α．【答案】【解析】由题意知梯形的上、下底分别为2422cos x x α-+，242(0,0)x x α->>． 故221(2422cos 242)sin 24sin 2sin sin cos 2A x x x x x x x αααααα=-++-⋅=-+， 24sin 4sin 2sin cos A x x xαααα∂=-+∂， 222224cos 2cos (cos sin )A x x x ααααα∂=-+-∂， 令0A x∂=∂，0A α∂=∂，联立解得，在定义域内唯一驻点8x =，3πα=， 故当3πα=，8x cm =时正截面面积A 最大．五、证明题 （6 分）56．证明方程0ln x x e π=-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．【解析】令0()ln x f x x e π=-+⎰，显然()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上连续，且0()0f e ==⎰，3220()360f e e e π=-+<-<⎰，由零点定理得，在3(,)e e 内至少存在一个ξ，使得()=0f ξ． 又11()f x x e'=-，在3(,)e e 内()<0f x '，所以在内单调减少．综上所述，方程0ln x x e =-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．。