1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——
距离问题
【知识提炼】 基线的概念与选择原则 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确 定的线段叫做基线.
2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要
选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般
来说，基线_____，测量的精确度越高. 越长
正三角形，且DC= km，当目标出现在B 点时，测得∠CDB=435°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与
目标的距离是( )
A.1.1km
B.2.2km
C.2.9km
D.3.5km
【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BD=CDsin 75 6 2 .
【解题探究】1.典例1中已知条件是什么？可用哪个定 理解决？ 提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理 可求解. 2.典例2中根据已知条件，可用哪个定理解决？ 提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解.
【解析】1.选B.如图所示，
由题意知∠C=45°，由正弦定理得
所以 12 3
AC 2 6 6. 2
2
【延伸探究】
1.(变换条件)典例1中若把条件“∠ABC= ”改为 “∠ABC= ”，其他条件不变，那么隧道3CD的长又该
是多少？ 6
【解析】如图：
由题意，易得∠DAC= ，
AC2=AB2+BC2-2AB4·BCcos
=4002+4002-2×4002× 6
3
=4002(2- ).
2
3
CD2=AD2+AC2-2AD·A Ccos
【知识探究】 知识点 距离问题 观察图形，回答下列问题：
问题1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时， 利用正弦定理求解需要哪些条件？ 问题2：测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题， 利用余弦定理求解需要哪些条件？
【总结提升】 1.测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距 离.
BD BD
所以BD= tan 30 tan 45
8 4( 3 1) (m).
3 1
方法二：过点B作BD⊥AC，根据正弦定理得
AB AC ，
所sin以AACBB= sinABC
ACsinACB
8sin 45
sinABC sin (180 30 45)
4 2 8( 3 1)， 6 2
所以BD=ABsin30°= ×8( -1)=4( -1)(m4 ).
3
AD=ACcos∠DAC=30cos60°=15(n mile)，则在
Rt△ADB中，DB=ADtan∠DAB=15tan30°=5 (n
3 mile)，则BC=DC-DB=15 -5 =10 (n mile).
答案：10 3 3
3
3
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一
【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及 关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余 弦定理解斜三角形是一个重要的方法. (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角， 用正、余弦定理进行计算.
【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点，
两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为
(2)测量两个不可到达点之间的距离. 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种 情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化 为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问 题(如图2).
AC 12 ， sin 60 sin 45
2
2.因为∠CAB=75°，∠CBA=45°，
所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.
由正弦定理，得 AB BC .
所以BC=
sinACB sinCAB
ABsin 75. sin 60
又因为sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°
3 a. 在△BCD中，∠D2BC=180°-30°-105°=45°， 由正弦定理得
BD CD ， sinBCD sinDBC
6 2
所以BD=CD sinBCD 3 a 4 3 3 a.
sinDBC 2
2
4
在△ADB中，由余弦定理得 2
AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB
则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA，
即142=x2+102-20xcos60°.整理，得x2-10x-96=0.
解得x1=16，x2=-6(舍去).
在△BCD中，由正弦定理，得
所以BC= ·sin30°=8
16 sin 135
≈11B(Ckm). BD ， sinCDB sinBCD
1 2 3 2 6 2.
所2以B2C= 2 2
4 (m).
100 6 2 150 2 50 6
34
3
即B，C两2点间的距离为
m.
150 2 50 6 3
【延伸探究】若典例2中的题设条件不变，求河段的宽.
【解析】过点C作CD垂直于AB，垂足为点D，则CD的
长就是该河段的宽度.
在Rt△BDC中，因为∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD= BD， BC
所以 BD BCsin 45 ABsin 75 sin 45 sin 60
100
6 4
2
2 50(3
3) m.
3
2
3
所以该2河段的宽度为
m.
50(3 3)
3
【方法技巧】Байду номын сангаас距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知， 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三 角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理.
2.解与三角形有关的应用题的基本思路
【题型探究】
类型一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的
距离
【典例】1.在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C
岛，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C间的距离
为( )
A.2
B.6
C.2
D.4
6
6
2
2
2.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该 河段两侧B，C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A， 观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且 AB=100m.求B，C两点间的距离.
在△ABD中，∠ADB=45°+60°=1s0in56°0，
2
由余弦定理，得
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°
3 ( 6 2)2 2 3 6 2 6 2 5 2 3.
4
2
4
所以AB= ≈2.9(km). 52 3
所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.
巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用
【即时小测】 1.思考下列问题： (1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个 内角能解出三角形的边长吗？ 提示：不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形 的一条边的长.
(2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ 提示：能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用 正、余弦定理求出两点间的距离.
4 =2502+4002×(2- )-2×250×400×( -1)×
3
3
=482 500-260 000 ，所以CD≈179米.
3
2 2 22
2.(改变问法)典例1中，条件不变，试求∠ADC的余弦 值.
【解析】如图：在△ABC中，AB=BC=400米， ,
3
∠ABC=
,
2 ,
所以△ABC为等边三角形，∠BAC=3 又∠BAD=3 故
答案：4( -1)m 1 2
3
3
3
【补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向， 后来船沿南偏东60°方向航行30n mile后，看见灯塔 在正西方向，则这时船与灯塔的距离为______n mile.
【解析】如图所示，B是灯塔，A是船 的初始位置，C是船航行后的位置， 则BC⊥AD，∠DAB=30°，∠DAC=60°， 则在Rt△ACD中，DC=ACsin∠DAC=30sin60°= 15 (n mile)，
2
【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的 距离，一般是把距离如何转化？ 提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. 2.典例2中，求BC的思路是什么？ 提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求 出BC.
【解析】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= ， 3
所以△ACD为等边三角形.
因为∠ADB=∠BDC，
所以BD为正△ACD的中垂线，
所以AB=BC= a. 6
答案： a 4 6 4
【方法指导】 1.寻求特殊图形 分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形， 如等腰(边)三角形、直角三角形，如果是则利用特殊 图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的 解决更加简洁.
【典例】(2015·广州高二检测)在某次军事演习中红
方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事 3a
基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处2 和B处， 且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，
∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离 为__________.