第三讲 游戏与对策
一、基本前提
游戏双方足够聪明，目的都是获胜。

二、方法：倒推 三、游戏类型
（一）拿火柴棍/抢数 如：桌子上放着10根火柴，二人轮流每次取走1—2根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？
分析：如果从开始分析，“局面”太大，有太多种取法要讨论。

所以我们尝试从结果倒推。

如上图，要必胜，也就是要让自己拿到10号火柴，那就应给对方留下8，9,10三根火柴供他取，这样对方不管取一根还是两根，自己都能拿到最后的10号火柴。

照这样分析，自己应该拿到7号火柴（这样就是给对方留下了8,9,10号三根）就必胜。

同理分析，要想取7号，就应该取4号，要想取4号，就应该取1号。

那么，本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴，对于足够聪明的人来说，拿到第一个制胜点1号火柴，一定能拿到其余的制胜点。

所以本题要必胜，就要抢先取1根，然后对方取a 根，自己就取3-a 根，这样保证自己能取到每一个制胜点，最终取到10号火柴。

总结一下，同学们应该能看出，这里面有周期现象（只是周期是从后往前排布的），周期是几呢？是可取的最大限度2再加1等于3，制胜点是哪些呢？是每个周期的最后一根。

掌握此规律，就不难总结出这类题的解题方法了： 解题方法：
（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1 （2）总数÷周期
1 桌子上放着60根火柴，聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走1—3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？ 解析： 周期为 3+1=4（根）
60÷4=15（组） （整除，应该抢后） 制胜点：4,8,12……60 做法：1、让对方先取
2、对方取a 根，自己就取4-a 根 2 有一种抢数游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数），最后谁报到规定的“某个数字”为胜。

如“抢50”，规定每次必须报1或2个
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
有余数：抢先拿余数 整除（余数为0）：抢后
自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。

请问你有必胜的策略吗？
解析：本题与上面的取火柴棍没有本质区别，把报数当成是取火柴，报一个数就是取一根火柴。

周期为 2+1=3
50÷3=16……2 （余2，应该抢先报到2）
制胜点：2,5,8,11 (50)
做法：1、自己先报2个数“1,2”
2、对方报a个数，自己就接着报3-a个数
题型拓展：抢到最后者为输
如例2，若改为谁抢报到50谁输，怎么做呢？
仍用倒推法分析，要保证自己胜，就要让对方报50，那么自己应该报49。

也就是抢报到49就获胜。

这样不就和之前的题型一样了吗？
周期为 2+1=3
49÷3=16……1 （余1，应该抢先报到1）
制胜点：1,4,7,10 (49)
做法：1、自己先报1个数“1”
2、对方报a个数，自己就接着报3-a个数
（二）棋盘抢旗
例 3 把一棋子放在如图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格，规定不能将棋子直接从左下角移到顶格，谁把棋子走进顶格夺取红旗，谁就获胜。

应如何取胜？
··
A·
B
C
D
E
解析：用倒推法分析，自己要抢占红旗格，应该把对方逼到带黑点的三个格子中，那么自己应该要抢到A（如果自己抢到A,对方只能走进其中一个黑格子中）。

同理，要抢到A,就要抢到B,以此类推，标出制胜点如右上图。

如果能抢占到任一个制胜点，就能最终获胜。

起点在左下方格子，先走者能够一步走到E，所以要必胜，应该抢先走到E,然后无论对方怎么走，自己都能再走到另一个制胜点，最终抢到红旗。

例4 在9×9棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格，二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者。

你有必胜策略吗？
解析：同上题类似，采用倒推法，要到达终点应把对方逼到终点的上、右、右上一格的位置，那么对应能得到第一圈制胜点（图中红点部分），再把每一个制胜点当做红旗，用同样方法能找到下一
圈制胜点，以此类推，找到本题所有的制胜点如下图。

从起点出发，能一步走到制胜点A。

所以，要必胜，就要抢先走到A,然后对方走一步，自己都设法走到另一个制胜点，最终一定能到达终点。

A
（三）对称型
规定：谁“无”路可走即为输
办法：1、局面非对称——抢先，将局面变为对称局面
2、局面已对称——抢后，跟随对方
例5 神奇涛和帅气铮两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动。

谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了。

神奇涛放第一枚，总是百战百胜，你知道他的策略吗？
解析：圆是中心对称图形。

神奇涛将第一枚硬币放在了中心的位置上。

之后帅气铮不论把硬币摆在什么地方，神奇涛接着就选择帅气铮摆的这枚硬币关于桌面中心对称的位置，摆上同样一枚硬币，由对称性，只要帅气铮能在桌面上找到可以摆硬币的地方，那么与这个地方中心对称的地方也一定是空着的，神奇涛就可以在此摆硬币。

“帅气铮能摆，神奇涛就能摆”，最终，肯定是帅气铮先找不到放硬币的地方，神奇涛就获胜了。

例6 有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根，聪明昊和智慧威两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取，规定取得最后一根者为赢。

请问先取有必胜的策略吗？
解析：本题虽然也是取火柴问题，但火柴根数多于一堆，且每次取的根数不限，所以策略与例1完全不同。

转换一下思路，取最后一根赢，意味着让对方无“火柴”可取即为胜，那么联想到对称型策略。

抢先从35根中取11根，剩下的即是一个对称的局面。

这时对方在某一堆中取几根，自己就在另一堆中取同样多根。

那么对方有火柴可取，自己也一定有火柴可取，最终一定是自己取到最后一根。

思考：如果两堆火柴都是35根呢？先取获胜还是后取获胜？
拓展 有3堆火柴，分别有1根、2根、3根火柴，甲先乙后轮流从任意一堆中取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。

如果双方都足够聪明，那么谁将获胜？
解析：参照上题，当是非对称局面时，抢先若能变为对称局面，就能获胜。

本题显然不是对称局面，但先拿者无论怎样拿都不能变为一个对称局面，而后拿者在先拿者取后都有办法将局面变为对称的，所以后拿者（乙）能获胜。

详细拿法：甲先拿，有六种拿法
1、从第1堆拿1根，则乙从第3堆拿1根
2、从第2堆拿1根，则乙从第3堆拿3根
3、从第2堆拿2根，则乙从第3堆拿2根
4、从第3堆拿1根，则乙从第1堆拿1根
5、从第3堆拿2根，则乙从第2堆拿2根
6、从第3堆拿3根，则乙从第2堆拿1根
（四）其它
（尖子）学案4 桌子上有8颗瓜子，甲、乙两人轮流拿瓜子，规定，假如甲先拿（当然，乙也可以先拿），甲可拿任意颗瓜子，但不能拿光，接着乙拿，乙可以拿不多于甲所拿瓜子的2倍，又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿瓜子的2倍，这样交替进行，谁拿到最后一颗瓜子就算胜利。

问先拿获胜还是后拿获胜？
解析：本题因为拿法限制少，不能用前几种题型方法，我们不妨一一枚举试试。

因为后者可以拿不多于前者的两倍，所以显然甲不能先拿3颗或以上，这样乙就可以把剩下的一起拿走。

所以甲只有2种选择：
甲取 乙取 甲取 乙取
选择一 1颗 2颗 还余5颗1颗 1颗 还余3颗，乙胜2颗 3颗，乙胜
选择二 2颗 1颗 还余5颗同上，还是乙胜
先拿者甲无论哪种选择都会输。

进而我们发现，当只剩下3颗瓜子时，先拿者甲输，当只剩下5颗瓜子时，先拿者甲也输，题中有8颗瓜子时，先拿者还是输。

其实这个游戏与兔子数列（斐波那契数列）有关。

若瓜子总数是该数列中的某一项（1除外），先拿者输，若总数不是该数列的某一项，先拿者胜。

制胜点：在保证对方不能一次拿完的情况下，给对方留下兔子数列中的一项。