③ 总体来看，二项式分布的应用条件也就是应用泊松分布所要求的。
3.1.3 正态分布 3.1.3.1 定义 如果连续型随机变量x的概率密度函数为：
f x
1 2
exp
x
2 2
2
μ为平均值，σ2 为方差，则称随机变量x服从参数为μ和σ2的 正态分布，记作x~N (μ ,σ2)。
Fx 1
2
试验结果x以事件A发生的次数表示时
np
2 npq
npq
试验结果x以事件A发生的频率表示时
p p
2 p
pq / n
p pq / n
3.1.2 泊松分布
3.1.2.1 定义： 若随机变量x (x=k)所有可能取值是非负整数，且其概率分 布为：
Px k k e
k!
其中， λ是一个大于零的常数；k = 0,1,2,…,n,…; e为自然对数的底数； 则称随机变量x服从参数为λ的泊松分布（Poisson’s distribution）,并
exp
x
2 2
2
dx
正态分布的特征
① 以μ为中心 ② f(x)在x= μ达到最大值，且 f 1 ③ f(x)是非负函数，以横轴为渐进线，分2布 从－∞到+ ∞，且曲线在
μ±σ处各有一个拐点 ④ 以μ和σ2为参数 ⑤ 分布集中在μ附近 ⑥ 与横轴围成的面积为1
3.1.3.2 标准正态分布
两尾（双侧）概率（two-tailed probability）
记作：α
例题3-9：已知某饮料罐内饮料量服从正态分布N （250,1.582），若P(x<l1 )= P(x≥l2) = 0.05, 求l1和 l2。
x
3.2 抽样分布
3.2.1 样本平均数的抽样分布
① 若随机变量x服从正态分布 x~N (μ ,σ2) ，x1,x2,…,xn 是由此总体 得来的随机样本，则统计量 x x /的n 概率分布也是正态分布，
3.1 理论分布
3.1.1.1二项分布的特点
1. Px k pn k 0
(k =0,1,2…,n)
n
2
C
k n
p
k
q nk
pq n 1
k 0
3
m
Px m Pn k m Cnk p k q nk
0
4
n
Px m Pn k m
C
k n
pk qnk
m
5
m2
Pm1 x m2 Pn m1 k m2 Cnk pk qnk
设随机变量 x 所有可能取值为零和正整数：0,1,2, … n, 且有：
P（x=k）= P n(k) = C n k p k q n-k (k = 0,1,…,n )，其中p > 0, q > 0, p + q =1,
则称为随机变量服从参数为n和p的二项式分布,记为 x~B(n,p)。
m2
Pm1 x m2 Pn m1 k m2 Cnk pk qnk k m1
μ=0， σ2 =1的正态分布
u
1
u2
e2
2
u 1
u2
e 2 du
2
u x
3.1.2.3 正态分布概率计算
标准正态分布概率计算
例题3-7： 已知u~N(0,1) , 试求：P(u<-1.64), P(u≥2.58), P(︱u|≥2.56, P(0.34≤u＜1.53)
P(-1 ≤ u＜1) = 0.6826 P(-2 ≤ u＜2) = 0.9545 P(-3 ≤ u＜3 ) = 0.9973 P(-1.96 ≤ u＜1.96 ) = 0.95 P(-2.58 ≤ u＜2.58 ) = 0.99
一般正态分布的概率计算
例题3-8 已知x~ N(100,22), 求P（100≤x＜102）
P(µ-σ ≤ x ＜ µ+σ) = 0.6826 P(µ-2σ ≤ x ＜ µ+2) = 0.9545 P(µ-3σ ≤ x ＜ µ+3 ) = 0.9973 P(µ-1.96σ ≤ x ＜ µ+1.96 ) = 0.95 P(µ-2.58σ ≤ x ＜ µ+2.58 ) = 0.99
相互独立，若从这两个总
体里抽取所有的可能的样本（无论样本容量n1,n2大小），则样本均
数之差
x1 x2
服从正态分布，即，x1 x2
~ N , 2 x1 x2 x1 x2
总体参数有如下关系：
x1 x2
1 2
2 x1 x2
2 1
/
n
2 2
/
n
若所有样本对来自同一个总体 N, 2 则其平均数差数的抽样分布
第3章 理论分布与抽样分布
0F(xF) xP X1 x x
分布函数及其性质
分布函数：设X为一随机变量，x为任意实数，称函数
F(x) PX x x
为X的分布函数。
性质1： 0 Fx 1
性质2：F(x) 是x的单调不减的函数 性质3：F(x) 关于x是右连续的
F lim Fx 0
已知随机变量x~B(n,p) 最多有k次发生的概率。
例题3-1. 有一批食品，其合格率为0.85。今在该批食品中随机 抽取6份食品，求最多有4份合格的概率。
二项分布的应用条件 ① 先进行预处理，把试验果归
为两大类或两种可能的结果。 ② 已知某事件的概率为p, 其对
立事件的概率为 q=1-p. ③ n次观察结果应互相独立。 二项分布的平均数和标准差
k m1
(m1≤m2)
3.1.1.2 二项分布的概率计算和应用条件 已知随机变量x~B(n,p) 正好有k次发生的概率。
例题3-1. 有一批食品，其合格率为0.85。今在该批食品中 随机抽取6份食品，求正好有5份合格的概率。
已知随机变量x~B(n,p) 至少有k次发生的概率。
例题3-1. 有一批食品，其合格率为0.85。今在该批食品中随机 抽取6份食品，求最少有4份合格的概率。
记为x ~P (λ).
3.1.2.2 泊松分布的特点
2
3.1.2.2 泊松分布的概率计算及应用条件 概率计算
① 事件A恰好发生k次； ② 至少发生k次； ③ 至多发生k次； 应用条件
① 泊松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位时间或空间里 的稀有事件的概率。
② 在二项式分布中，当试验次数很大，试验发生的概率p很小时, x~B(n,p) 可用x ~P (λ)代替，用λ = np 进行有关计算。
性质4：
x
F lim Fx 1 x
性质5：对于任意a<b,有
Pa X b PX b Px a Fb Fa
PX a 1 PX a 1 Fa
3.1 理论分布
3.1.1 二项分布（binomial distribution）
贝努利试验 ：只有两种可能结果的随机性试验。
一般贝努利试验与n次贝努力试验不严格区分 二项分布的定义：
，n2记为：
S x1 x2
S12 n1 S22 n2
2 1
2 2
2
S
2 0
S12
df1
S
2 2
df
2
df1 df2
SS1 SS2 n1 n2 2
2
2
x1 x1 x2 x2
n1 n2 2
S x1 x2
1/ n1 1/ n2 S02
3.2.5 t分布
若 x ~ N, 2 ，则 x ~ N , 2 / n 。将随机变量 x 标准化 得： u x u/ ，则 u ~ N0,1 。当 σ2 未知时，以S代
x
替σ所得到的统计量 x ut= / Sx 记为t, 即
t x /S x
f x
df
df
1 / df
2 / 2
1
t2 df
df 1 2
Ftdf Pt t1
t1 f t df
且有
、 x
2 、2 /即n x
服从x 正态分布
N , 2 / n
② 若随机变量x服从平均数是μ和方差是σ2 的分布（不是正态分
布 ）， x1,x2,…,xn 是由此总体得来的随机样本，则统计量 x x / n
的概率分布，当n相当大时逼近正态分布 N , 2 / n 。中心极限定
理。
3.2.2 均数标准误
在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，因而无法求得 x 此时
可用样本标准差S估计σ，于是以
S / n估计 x，记
S / n为
S x
S S
x
Байду номын сангаас
n
xx 2
nn 1
x2 x2 / n
nn 1
3.2.3 两个样本均数差数的抽样分布
设
x1
~
N
1
,
2 1
，x2
~
N 2 ,
2 2
，且x1与x2
（不论样本容量n1,n2大小）服从正态分布，且：
0 x1 x2
2 x1 x2
2
1/ n1 1/ n2
3.2.4 样本均数差数标准误
实际样品中σ12和σ22常是未知的，但在样本含量充分大
的情况下，通常是用S12与S22分别代替σ12和σ22，于是常
用
估计， x1 x2
S12
n1
S
2 2