故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
再证 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
这时， 1 2 i1 i i Vi (V1 V2 Vi1 ) Vi
即 i 0, 矛盾. 所以，V1 V2
§6.7 子空间的直和
i 1
Vj {0}
j 1
Vs 是直和.
任取 A , A V1, k P, 有
A A A( ) V1, k( A ) A(k ) V1.
V1 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
下证V2 是 Pn的子空间. A0 0, 0 V2
又对 , V2 , k P, 有 A 0, A 0,
从而有 A( ) A A 0 0 0 A(k ) kA k0 0
§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
§6.7 子空间的直和
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
二、直和的判定
1、(定理8) 和 V1 V2是直和的充要条件是零向量
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
解空间：
x1 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
n1 (0,0, ,1, 1)
§6.7 子空间的直和
V1 L(1 , 2 , , n1 ).
再解齐次线性方程组②.
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
s
1）W Vi是直和
i 1
2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
3） Vi Vj 0,i 1,2, , s
ji s
4）dimW dimVi
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
三、推广 多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
i 1
1 2 s , i Vi , i 1, 2, , s
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
由 x1 x2
xn
x1 xn 0
即
x2 xn
0
xn1
xn
0
得②的一个基础解系 (1,1, ,1)
V2 L( ). 考虑向量组 1 , 2 , , n1,
§6.7 子空间的直和
10
01 由于 0 0
0 1 0 1 1 1 0
11 1 1
1 , 2 , , n1, 线性无关，即它为Pn的一组基.
i 1
故 V L(1) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例 2、已知 A Pnn，设
V1
AX
X
P
n
,
V2
X
X P n , AX
0
证明：1）V1、V2 是 Pn的子空间.
2）当 A2 A 时， Pn V1 V2 .
证：1） 0 A0, 0 V1
称这样的W为V的一个关于U的余子空间.
§6.7 子空间的直和
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ),
Pn L(1 , 2 , , n1 , n ) L(1 , 2 , , n1 ) L( n )
V1 V2 又 dimV1 dimV2 (n 1) 1 n dim Pn
P n V1 V2
§6.7 子空间的直和
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
i 1
Vi Vj 0,
j 1
i 1,2, , s
证: " " 若V1 V2 Vs是直和,
则 Vi Vj 0,
ji
i 1