不等式证明基本方法例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+-分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。

证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。

例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 222222++<++分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。

证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++=)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+-=)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+-=))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a∴0))()((<---a c c b b a故原不等式成立评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：=++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。

例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b ab ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b ab ++++-+ 11n n n n a b ab ab ++=+-- ()()n na b a b a b =-+-()()n n a b b a =--ⅰ）当0a b >>时，0,n n a b b a -><，则()()0n na b b a --<ⅱ）当0a b =>时，0,a b -=，则()()0n n a b b a --=ⅲ）当0b a >>时，0,n n a b b a -<>，则()()0n n a b b a --<评注：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进一步简化变形等，是运用比较法的外部特征。

当作差或商后的式子中含有字母时，有时需对字母进行分类讨论。

例4 ：已知,,a b R +∈且,a b ≠求证：a b b a a b a b > 分析一：作差后可以判定符号，可用作差法。

证法一：(1)a b b a a b b a a b a b a b a b ab ---=- [1()]a b b a a a b b -=- ⅰ）当a b >时，1,0,a b a b>-<则()1b a a b -< ⅱ）当a b <时，01,0,a b a b<<->则()1b a a b -< 又∵0a b a b >，∴a b b a a b a b >分析二：不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。

证法二：∵0,0a b >>Q∴lg()lg()a b a ba b b a -lg lg lg lg a a b b a b b a =+--()(lg lg )a b a b =--ⅰ）当0a b >>时，a b -与lg lg a b -同为正ⅱ）当0b a >>时，a b -与lg lg a b -同为负∴lg()lg()a b a b a b b a >即a b b a a b a b >评注：有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等），可使变形更方便。

分析三：不等式两边均为正数，也可用作商法。

证法三：()a b a b a b a b a b a b-=ⅰ）当0a b >>时，1,0,()1a b a a a b b b->->∴> ⅱ）当0b a >>时，01,0,()1a b a a a b b b -<<-<∴> ∴a b b a a b a b >评注：1．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论2．作差法是通法，运用较广。

作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。

常用于证幂、指数形 式的不等式。

例5 ：设c b a ,,都正数，求证：c b a cab b ca a bc ++≥++ 分析：不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。

证明：,,,+∈R c b a Θ,,,+∈∴R cab b ca a bc ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a+≥+≥+≥ ∴2(bc a +)(2c b a cab b ca ++≥+， ∴c b a c ab b ca a bc ++≥++ 评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要 证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推 出结论的一种证明方法例6:设a,b,c 均为正实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1. 分析一：不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。

证法一：∵a,b,c 均为正实数， ∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立； 21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1．当a =c 时等号成立； 三个不等式相加即得a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1，当且仅当a =b =c 时等号成立. 分析二：从一些常用不等式出发，可以减少思维回路，降低解题难度，提高效率。

证法二：∵0,0>>b a .4)11)((≥++b a b a ∴.411ba b a +≥+同理：.411b c b c +≥+ .411ca c a +≥+ ∴.444)111(2c a cb b ac b a +++++≥++ ∴a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1 评注：运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方 法。

例7 : 已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1.求证：（1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）.分析：在条件“a +b +c =1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若将“a +b +c ” 换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a,b,c ∈R +且a +b +c =1，∴要证原不等式成立，即证［（a +b +c ）+a ］·［（a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥8［（a +b +c ）－a ］·［（a +b +c ）－b ］·［（a +b +c ）－c ］. 也就是证［（a +b ）+（c +a ）］［（a +b ）+（b +c ）］·［（c +a ）+（b +c ）］≥8（b +c ）（c +a ）（a +b ） ①∵（a +b ）+（b +c ）≥2））（（c b b a ++＞0，（b +c ）+（c +a ）≥2））（（a c c b ++＞0，（c +a ）+（a +b ）≥2））（（b a a c ++＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.评注：1.证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转 化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式 成立，这种方法通常叫做分析法分析法的思维特点是：执果索因2.分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有……这只需要证明命 题2B 为真，从而又有…… 这只需要证明命题A 为真,而已知A 为真，故命题B 必为真 例8 :设0>>b a ，求证：.8)(28)(22bb a ab b a a b a -<-+<+ 分析：不等式的形式较复杂，可以从原不等式出发，进行化简变形。

证法一：要证原不等式成立，只需证：.8)(2)(8)(222b b a b a a b a -<-<+ ∵b a ≠只需证.4)(14)(22bb a a b a +<<+ 只需证bb a a b a 212+<<+，只需证b a a b <<1 ∵0>>b a 上式成立 ∴原不等式在0>>b a 时成立.证法二：∵0>>b a∴ba ab <<1 ∴b ba a ba 212+<<+∴.4)(14)(22bb a a b a +<<+ ∴.8)(2)(8)(222bb a b a a b a -<-<+ 即 .8)(28)(22bb a ab b a a b a -<-+<+ 评注：分析法与综合法本质上是一致的，形式上是互逆的，我们常常用分析法寻找证题思路，用综合法书 写证明过程。

配套小练习：证明下列不等式1 己知c b a ,,都是正数，且c b a ,,成等比数列，求证：.)(2222c b a c b a +->++2．已知a,b,x,y ∈R +且a 1＞b 1，x ＞y . 求证：ax x +＞b y y + 3.已知b a ,均为正数，且1=+b a ，求证：222)(by ax by ax +≥+.4．设a , b , c R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++5.已知c b a ,,是正实数，求证：.222c b a ac c b b a ++≥++ 6.已知c b a ,,为不相等的正数，且1=abc ，求证：.111c b a c b a ++<++ 7.若a ,b >0,2c >a +b ,求证: (1)c 2>ab （2）c -ab c -2<a <c +ab c -28.已知c b a ,,均为正数，且1=++ca bc ab ，求证：①3≥++c b a ； ②).(3c b a abc ac b bc a ++≥++解答： 1.证明：)(2)(2222ac bc ab c b a c b a -+=+--++ Θ c b a ,,成等比数列，ac b =∴2c b a ,,Θ都是正数，c a c a ac b +<+≤=<∴20 ,b c a >+∴ 0)(2)(2)(22>-+=-+=-+∴b c a b b bc ab ac bc ab.)(2222c b a c b a +->++∴2.证法一：（作差比较法） ∵a x x +－b y y +=））（（b y a x ay bx ++-， 又a 1＞b1且a,b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay . ∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即ax x +＞b y y +. 证法二：（分析法）∵x,y,a,b ∈R +，∴要证ax x +＞b y y +， 只需证明x （y +b ）＞y （x +a ），即证xb ＞ya . 而由a 1＞b1＞0，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立.3.证明：∵ 1=+b a∴ 2222222222)(y b abxy x a by ax by ax by ax ---+=+-+ 22)1(2)1(y b b abxy x a a -+--=.)()2(222y x ab y xy x ab -=+-=∵0)(,0,02≥->>y x b a ∴.)(222by ax by ax +≥+4.证明：∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2|2|222b a b a b a +≥+≥+ ∴)(2222b a b a +≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+ 三式相加：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++5.证明：∵ 0,0>>b a ∴ a b b a 22≥+ 同理：c a a c 22≥+；b c cb 22≥+ ∴ .222c b a ac c b b a ++≥++ 6.证明：∵c b a ,,是不相等的正数，且.1=abc∴.111211*********cb a b a ac c b ab ac bc c b a ++=+++++<++=++ 7.证明:（1）∵ab ≤(2b a +)2<c 2 ∴ab <c 2（2）欲证c -ab c -2<a <c +ab c -2只需证-ab c -2<a -c <ab c -2即|a -c |<ab c -2即a 2-2ac +c 2<c 2-ab只需证a (a +b )<2ac∵a >0,只要证a +b <2c (已知)故原不等式成立8.①要证 3≥++c b a ， c b a ,,均为正数，只要证.3)(2≥++c b a 只要证 3)(2222≥+++++ca bc ab c b a ；只要证.1222ca bc ab c b a ++=≥++而ca bc ab a c c b b a c b a ++≥+++++=++222222222222成立∴3≥++c b a ②∵.abcc b a ab c ac b bc a ++=++由①3≥++c b a 要证原不等式，只需证明 c b a abc ++≥1只需证.1≤++ab c ac b bc a∵2ac ab ac ab bc a +≤⋅= 同理.2,2bc ac ab c bc ab ac b +≤+≤ ∴.ca bc ab ab c ac b bc a ++≤++成立.。