湘豫名校联考（2021年1月）数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题1. 将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（ ） A.1ii+ B.1ii+- C.1ii- D.1ii-- 【答案】A2. 设集合{1,0,1}A =-，集合{}B x x t =>，若A 、B 两集合的关系如图，则实数t 的取值范围为（ ）A. 1t ≤B. 1t ≥C. 1t <D. 1t >【答案】B3. 根据如下样本数据：x2 3 4 5 6y42.50.5- 2- 3-得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） A. 0a >，0b > B. 0a >，ˆ0b < C. 0a <，0b > D. 0a <，ˆ0b< 【答案】B4. 函数2ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A5. 在数列{}n a 中，12a =，()*111nn naa n a ++=∈-N ，则2021a =（ ） A. 12-B. -3C.13D. 2【答案】D6. 《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P （单位：毫克/升） 与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系式为0e kP P -=（k ，0P 均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A.12小时 B.59小时 C. 5小时 D. 10小时【答案】C7. 函数()g x 的图象是由函数()2sin 22cos 2f x x x =+的图象向右平移4π个单位长度得到的，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. ()g x 为偶函数C. ()g x 的图象的一条对称轴为78x π= D. ()g x 的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱1BB ，BC 的中点，若M 在以1C N 为直径的圆上，则异面直线1A D 与1D M 所成的角为（ ）A. 45︒B. 60︒C. 90︒D. 随长方体的形状变化而变化 【答案】C9. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为5，则下列判断错误的是（ ） A. 注射疫苗发病的动物数为10B. 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为23C. 能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效D. 该疫苗的有效率为75% 【答案】D10. 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>无交点，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A.)+∞B. (C. [2,)+∞D. (1,2]【答案】D11. 函数()3log f x x =，若正实数m 、()n m n <满足()()f m f n =，且()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则n m -=（ ） A.83B.809C.154D.25516【答案】A12. 已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E ，F 分别为边AB 和CD 上动点（不与端点重合），且//EF AD ，将四边形ADFE 沿EF 折起，使平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB ，CD ，当三棱柱ABE DCF -的体积最大时，该三棱柱的外接球体积为（ ）A.3B.3C.6D.【答案】C第Ⅱ卷二、填空题13. 若单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则21e e -=______．14. 已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若||6AB =，AB 的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为__________． 【答案】24y x =15. 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足2100111100010n nS S <<的n的最大值为__________． 【答案】9 16. 不等式ln ax x x+>在()1,x e ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)1,-+∞三、解答题 （一）必考题：17. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c2222ac +=-． （1）求sin B ； （2）若a =2b =，求ABC 的面积．【答案】（1）3；（2）22-. 18. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．（单位：人次）满意度老年人中年人青年人自助餐点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分（满意） 12 1 20 2 20 1 5分（一般） 2 2 6 3 4 12 0分（不满意）116232（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 【答案】（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）110P =；（3）建议其选择自助餐． 19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 中点．（1）求证：1//AB 平面1BD M ；（2）若12AA AD ==，22AB =A 到平面1BD M 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2222． 20. 已知函数2()ln ()2a f x x x a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有极值1-，求()f x 的图象在1x =处的切线方程．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在0,aa⎛ ⎝⎭单调递增，在,a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减；（2）(1)102x y ee -+-+=.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点1F ，2F 分别为其左、右焦点，点A ，B 分别为其左、右顶点，点Q 为椭圆上不与A ，B 重合的动点，且1QAF △面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）分别过点A ，B 作直线1l AQ ⊥于点A ，2l BQ ⊥于点B ，设1l 与2l 相交于点P ，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）221(2)1643y x x +=≠±. （二）选考题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，2l 交极轴于点A ，交直线1l 于B 点．（1）求A ，B 点的极坐标方程；（2）若点P 为椭圆2213y x +=上的一个动点，求PAB △面积的最大值及取最大值时点P 的直角坐标．【答案】（1）)A，3,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）max S =，P 点坐标为⎛ ⎝⎭. 23. 已知函数()21()f x x x m m =-++∈R ． （1）若1m =，解不等式()6f x ≤；（2）若关于x 的不等式()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。