f(t1)r(ft)b
预先给定树木调查因子y 的最大值，赋值 于k。罗辑斯谛方程可化为 k 1 mert
y
两边取对数则 ln(k1)lnmrt y
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br
若令
y ' ln(
k
1)
y
alnm
X=t 则罗辑斯谛方程化为直线方程
y'abx
根据样本统计资料(xi, yi' ) ，由最小二乘法即可求
出参数
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代入，有
ln y rtc ky
从而得到方程的（1）的隐式通解。为了确定积分常数c ，
代入初始条件，当t=0时， y=y0 于是 C ln y0
k y0
(y0 0)
代入通解
ln y rtln y0
ky
ky0
移项：
ln
y ln
y0
rt
ky
k y0
k y0 y ert
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（3）曲线存在一个拐点
求y对t 的二阶导数方程
d d2y 2 t r2y(1k y)1 (2ky)
令
d2y dt 2
0
yk 1y0 k
则 1 2y 0
y k
k
2
这就是拐点的纵坐标
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3、罗辑斯谛曲线拟合
所谓曲线拟合，即根据样本资料 (ti, yi )， i=1,2,…,n.对方程中参数r、m、k 进行抽样 估计，确定r、m、k 的值。
r y
k
(1)式为著名的阻滞方程
y
（Wehuls-pearl），其中，kr y 是树木竞争 其相对生长速度的下降量。故称为“拥挤效 应系数”。
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方程（1）是变量可分离型一阶常微分方程， 用变量分离法解之：
首先进行变量分离
两边积分
dy y(1 1
y)
rdt

k
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木生长受到林木竞争的限制，且随树木调
查因子y（t）的增长而竞争加剧，使得该
树木的相对生长速度为y的递减函数。
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假设 d y 1 为y 的线性递减函数，即令下式成 立： d t y
1 dy r r y
y dt
k
（1） 1 d y
r y dt
式中r、k 为大于零的常数。
第六章 生长概论 （Introduction of Increment)
第一节 树木生长量概念 （Conception of Tree Increment)
一、树木生长量的定义
在一定间隔内，树木各调查因子（D， H，V），所发生的变化称之为树木的生长， 其变化量称之为生长量。
显然，树木的生长量是随着时间的变化 而变化，是关于时间t的函数。
指树木在[0，t]内的平均生长速度，即树木总生长量
y t 被t除之商，记为 。 yt / t
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三、树木生长特点
树木生长是依靠细胞的增殖不断地扩大它的直径、 树高、材积等，由于细胞增殖的不可逆性，决定了树木
的生长是一各“纯生型” 的生长过程是一个“纯生型” 的生长过程。具有以下特点：
b
S xy '
S
2 x
a y'b x
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式中；
S xy ' 为协方差
S xy'
xi yi 'n x y' n 1
S
2 x
为x的方差
SX2
xi2
2
nx
n1
回代即得出： mea,rb
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二、单分子生长式（Mitscherlich)
1.方程的导出 在树木生长过程中，假定在某一时刻（t+1）的大小 f（t+1）与其前一时刻的大小f（t）存在着下列关系：
lim
t
k 1 me rt
0
lim k k t 1 me rt
K 称为树木生长的极限值
y
k
········ · ·
t
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（2） y 是关于t的单调增函数
由公式（1），树木生长速度为
d y yr(11 y)
dt
k
y k dd y t0
即y 是关于t 的增函数
生长方程描述树木某调查因子生长的 本质规律，是关于树木年龄t的确定性函数。
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一、罗缉斯谛（Logistic）方程及拟合法
1、方程的导出
设y（t）为树木的生长方程，且令树木
单位时间的生长量（即生长速度）为 dy ，
相对生长速度（即生长率）为
1 y
dy dt
dt
由于树木在林地上的营养空间有限，树
Zyt yt1 .
2
4、定期平均生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的平均生长速度，即定
期生长量 Z n
被定期的年数n除之商。记为
n
yt
ytn n
n
生长比较缓慢的树种，相差一年的连年生长量一般不 易测准，故生产中常用定期（n=5或者10年）平均生长 量来代替连年生长量。
5、总平均生长量（简称为平均生长量）
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二、生长量的种类
1、总生长量
树木从种植开始，直至调查时（t），整个期间的累
积生长量。它是t的函数，记为 y t
2、定期生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的生长量，记为 Z n。
Zn yt ytn
3、连年生长量
树木在单位时间的生长速度，即树木在一年间的生长
量，记为 Z。
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y0
ky
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令 k y0 m y0
则 m
y
e rt
ky
my e rt (k y )
y k e rt
k
m e rt 1 me rt
（2）
式（2）即为著名的罗辑斯谛方程。
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2.罗辑斯谛方程的性质
（1）罗缉斯缔曲线有两条渐近线
Y=k
y=0
在树木幼年阶段，生长缓慢；
在树木中年阶段，生长旺盛； y
k
在树木近、成熟阶段，生长
y(t)
趋于停止。
上述特点，反映在总生长量 y t 与树木年龄t的关系，是一条被
拉常了的“s”型曲线。
0
t
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4
第二节 树木生长方程 Equations of Tree Increment
树木总生长量yt 关于t的函数称为泛指 生长方程。这样的生长方程有无穷多条。 其原因是影响树木生长的因子太多。通常 生长方程研究的是树木的平均生长曲线。 即在均值意义上的生长方程，是唯一的。
.
8
左边积分：
1
y (1
dy 1
y)
(
1 y
k 1 1
y
)dy
k
k
1 dy y
k
1
dy y
ln y ln( k y ) ln y ky
右边积分：
被积函数化为部分分式：
令
1 y(11y)
Ay 1B1y
k
k
欲使上式成立有：
A 1 B 1 A0
K
解得 A=1 B=1/K
rdtrtc c为积分常数