年级：辅导科目：数学课时数：课题三角函数教学目的教学内容一、知识网络二、命题分析1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大．2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，它们都是以角为，以比值为 的函数．3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T (T ′)，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT (或AT ′)叫做α的 ． （三）基础自测1．与610°角终边相同的角可表示为( )A ．k ·360°＋230°，k ∈ZB ．k ·360°＋250°，k ∈ZC ．k ·360°＋70°，k ∈ZD ．k ·360°＋270°，k ∈Z [答案] B[解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6 C.5π6D.3π4[答案] B [解析] ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限， ∴α＝116π. 3．若－π>θ>－3π2，则点(tan θ，sin θ)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 易知θ在第二象限，则tan θ<0，sin θ>0.4．若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)，∴r ＝2，故sin α＝－32，故选C. 5．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________. [答案] 0[解析] 设α终边上任一点P (k ，－3k )，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，cos α＝k10k＝110， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝310，cos α＝－110，∴10sin α＋3cos α＝0.问题(2)主要是利用不等式表示出αn 的范围，对k 进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定αn所在象限． 跟踪练习1：设θ为第三象限角，试判断sinθ2cosθ2的符号[解析] ∵θ为第三象限角，∴2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z)， k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时， 2n π＋π2<θ2<2n π＋34π(n ∈Z)，此时θ2在第二象限， (2n ＋1)π＋π2<θ2<(2n ＋1)π＋3π4(n ∈Z)，即2n π＋3π2<θ2<2n π＋7π4(n ∈Z)，此时θ2在第四象限，∴sin θ2<0，cos θ2>0，∴sin θ2cos θ2<0.综上可知：sinθ2cosθ2<0.2.命题方向：弧长公式及扇形面积公式的应用[例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[分析] (1)直接套用公式l ＝αR 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积． (2)将S 扇表示为α的函数，转化为函数求最大值问题．[解析] (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝10π3，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102sin60°＝50(π3－32)． (2)解法1：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR . ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·C 2(2＋α)2＝C 22×α·1α2＋4α＋4＝C22·1α＋4α＋4≤C216， ∴当α＝4α即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C 216.解法2：由已知2R ＋l ＝C ，∴R ＝C －l2(l <C )，∴S ＝12Rl ＝12·C －l 2·l ＝14(Cl －l 2)＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫l －C 22＋C 216，∴当l ＝C 2时，S max ＝C 216，此时α＝l R＝C2C －C22＝2，∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值C 216.[点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致．跟踪练习2(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解析] (1)设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ，所以扇形的周长是（2r ＋r ）θ.依题意， 得（2r ＋r ）θ＝πr ，∴θ＝π－2＝(π－2)×(180°π)≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，∴扇形的面积为S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， 即l ＝20－2r (0<r <10)①扇形的面积S ＝12lr ，将①代入，得S ＝12(20－2r )r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当且仅当r ＝5时S 有最大值25.此时l ＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值.3.命题方向：三角函数的定义应用已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．[分析] 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P 到原点的距离r ，由于含有参数a ，要注意分类讨论．[解析] r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，r ＝5a ，α角在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，r ＝－5a ，a 角在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.跟踪练习3：已知角α的终边上一点的坐标为(sinπ3，cos π3)，则角α在[0,2π)内的值为( ) A.5π6或π6 B.2π3或53π C.π3D.π6[答案] D[解析] ∴sin π3>0，cos π3<0，∴点(sin π3，cos π3)落在第一象限，又∵tan α＝cosπ3sinπ3＝33，∴α＝π6，故选D.4.命题方向：单位圆的应用已知：α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α.[分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明．[证明] 设角α与单位圆交于P ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α，如图所示， PB 的长l ＝α.连接AP .△POA 的面积＝12OA ·MP ＝12sin α.扇形OAP 的面积＝12l ·OA ＝12α.△OAT 的面积＝12OA ·AT ＝12tan α.∵S △POA <S 扇形OAP <S △OAT ，即12sin α<12α<12tan α.∴sin α<α<tan α.跟踪练习4：在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2Sr 2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S . 13．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． [解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.14．设f (x )＝cos xcos30°－x，求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值．[解析] f (x )＋f (60°－x ) ＝cos x cos 30°－x＋cos 60°－x cosx －30°＝cos x ＋cos 60°－x cos 30°－x ＝3cos x －30°cos 30°－x＝ 3.∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝(f (1°)＋f (59°))＋(f (2°)＋f (58°))＋…＋(f (29°)＋f (31°))＋f (30°)＝293＋32＝5932. 15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．[解析] ∵P (1，－2)是角α终边上一点，由此求得r ＝|OP |＝5，∴sin α＝－255，cos α＝55.∵sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45·32＝－3＋4310.∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32，tan α＝sin αcos α＝－3， ∴1＋tan 2α＋1tan 2α＝1＋(－3)2＋1－32＝1＋3＋13＝133. （四）典型例题1.命题方向：同角三角函数的关系[例1] α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( ) A.15B ．－15 C.513D ．－513[解析] 解法1：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1sin αcos α＝－512，解得sin α＝±513.又∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513.故选D.解法2：设tan α1＝512，α1为锐角，如图在Rt △ABC 中，由tan α1＝512， 设AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝13， ∴sin α1＝513，∵α为第四象限角，∴sin α<0，从而sin α＝－513.解法3：∵α是第四象限角，∴sin α<0，排除A 、C ，又tan α＝sin αcos α＝－512，由勾股数组5,12,13知排除B ，∴选D.[答案] D[点评] 记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①3,4,5 ②5,12,13 ③7,24,25以及它们的倍数，如3k,4k,5k k ∈N ＋.跟踪练习1：(2010·全国卷Ⅰ理)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k2kB ．－1－k2kC.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B[解析] sin80°＝1－cos 280°＝1－cos2－80°＝1－k 2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.[分析] 先将所给三角函数式化简，由方程的判别式Δ≥0，结合韦达定理求解．[解析] 2tan α·cos α－sin α1－tan 2α＝2sin αcos α·cos α－sin α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos α＋sin α由根与系数关系可得sin α＋cos α＝－2＋12且m2＝sin α·cos α＝sin α＋cos α2－12＝⎝⎛⎭⎪⎫－2＋122－12＝22－18，所以m ＝22－14.故原式＝22－14－2＋12＝32－52.3.命题方向：利用诱导公式进行化简与求值[例3] 已知f (α)＝sinπ－αcos 2π－αtan －α＋π－tan －α－πsin －π－α；(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． [分析] 显然应用到诱导公式，可以直接从六组诱导公式中合理选用．[解析] (1)f (α)＝sin α·cos α·－tan αtan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－125＝－256，∴f (α)＝256.[点评] 熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．(能求值的要求出值) [例4] 化简：tanπ－αcos2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos－α－πsin－π－α[分析] 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用．[解析] 解法1：原式＝－tan α·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝－tan α·[－cos π－α]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－cos α·sin α＝－tan α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.解法2：原式＝－tan α·cos －α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.[点评] 解决此类问题需合理运用诱导公式，用公式时需特别注意化简后函数的名称与符号，一定要细心计算，以免出错． 跟踪练习3：化简：tan 3π－αsinπ－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 2π＋α[分析] 要认真观察“角”，运用诱导公式时特别注意函数名称与符号．[解析] 原式＝tan －αsin α·－cos α＋sin －α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·cos α＝tan αsin α·cos α＋－sin α·－sin α－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 4.命题方向：三角函数公式在解三角形中的应用[例5] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． [分析] 由诱导公式可化简得到sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，进而由sin 2A ＋cos 2A ＝1可求出A ，进一步即可求出B 和C .[解析] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22. 若cos A ＝－22，则cos B ＝－32， 此时，A ，B 均为钝角，不可能， ∴cos A ＝22，故A ＝π4， cos B ＝32cos A ＝32⇒B ＝π6，C ＝π－(A ＋B )＝7π12. [点评] 1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．跟踪练习4：在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . [解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，即sin A >cos B ； 同理sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .（五）思想方法点拨1．计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角是大于360°的角时，可用k ·360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性．3．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．4．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如果出现k π±α的形式时，常对k 值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限．5．在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，一般思路是将切化弦，但在某些特殊问题中就不要化切为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证tan α－cot βtan β－cot α＝tan αcot β”，利用倒数关系可得简证．（六）课后强化作业一、选择题1．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3 [答案] B[解析] sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°) ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 2．设tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1[答案] A [解析]sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α＝sin －4π＋π＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1.又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan α＝m ，∴原式＝m ＋1m －1. 3．若sin2θ＝14且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos θ－sin θ的值是( ) A.32B.34 C ．－32D ．－34[答案] C[解析] (cos θ－sin θ)2＝1－sin2θ＝34，∵π4<θ<π2，∴cos θ<sin θ，∴cos θ－sin θ＝－32. 4．已知x 是三角形的内角，sin x ＋cos x ＝713，则tan x 的值是( ) A ．－125B.125 C.512D ．－512[答案] A[解析] 因为0<x <π，且sin x ＋cos x ＝713，所以π2<x <π.从而可知sin x >0，cos x <0，且|sin x |>|cos x |，∴tan x <0且|tan x |>1，故选A.5．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π＋θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23[答案] B[解析]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π＋θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.6．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，则2cos 2α2－sin α－12sin π4＋α的值为( )A. 2B ．－ 2C ．－3＋2 2D ．3－2 2[答案] C[解析]2cos2α2－sin α－12sinπ4＋α＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1.又tan2α＝－22＝2tan α1－tan 2α⇒22tan 2α－2tan α－22＝0.解得tan α＝－22或 2. 又π4<α<π2，∴tan α＝ 2.原式＝1－22＋1＝－3＋2 2. 7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )A.2＋32B ．－2＋32 C.2－33D.－2＋33[答案] B[解析] ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， 而sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23， ∴原式＝－33－23＝－2＋33. 8．若sin α＋cos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2[答案] C[解析] 方法一：排除法．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上，sin α＋cos α>1，而tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上小于1，故排除答案A 、B ；因为sin α＋cos α≤2，而在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上tan α>3，sin α＋cos α与tan α不可能相等，故排除D.方法二：由sin α＋cos α＝tan α，0<α<π2， ∴tan 2α＝1＋2sin αcos a ＝1＋sin2α， ∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴0<sin2α≤1，∴1<tan 2α≤2， ∵0<α<π2，∴tan α>0，∴1<tan α≤2，而2<3，∴π4<α<π3. 二、填空题[分析] (1)化简已知条件sin α＋cos α＝23，再平方求sin αcos α则可求(sin α－cos α)2，最后得sin α－cos α. (2)化简cos 3α－sin 3α，再因式分解并利用(1)求解．[解析] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29， 故2sin α·cos α＝－79. 又π2<a <π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227. 13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2.求sin 3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． [解析] ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.∴sin 3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－sin 2α＋cos 2α7sin 2α＋cos 2α＝sin 2α－cos 2α7sin 2α＋cos 2α＝tan 2α－17tan 2α＋1＝4－17×4＋1＝335. 14．已知sin θ，cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根．(1)求m 的值；(2)求sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－tan θ的值． [解析] (1)由韦达定理可得。