复 摆
【实验目的】
(1)研究复摆的物理特性; (2)用复摆测定重力加速度;
(3)用作图法和最小二乘法研究问题及处理数据。
【仪器用具】
复摆,光电计时器,电子天平,米尺等。
【实验原理】
1.复摆的振动周期公式
在重力作用下,绕固定水平转轴在竖直平面内摆动的刚体称为复摆(即物理摆).设一复摆 (见图1-1)的质量为m ,其重心G 到转轴O 的距离为h ,g 为重力加速度,在它运动的某一时刻t,参照平面(由通过O 点的轴和重心G 所决定)与铅垂线的夹角为0,相对于O 轴的恢复力矩为
M=-mgh sin θ （1.1）
图 1-1复摆示意图
根据转动定理, 复摆(刚体)绕固定轴O 转动,有
M=I β (1.2)
其中M 为复摆所受外力矩，I 为其对O 轴的转动惯量，β为复摆绕O 轴转动的角加速度, 且
22dt
d θβ=
则有
M=I
2
2dt d θ
（1.3） 结合式(1.1)和式(1.3),有
I 22dt
d θ
+mgh sin θ=0 (1.4) 当摆角很小的时候, sin θ≈θ, ,式(1.4)化为
22dt d θ
+
θI
mgh =0 (1.5) 解得
θ=A cos(ωt+θ0) (1.6)
式中A ，θ由初条件决定;ω是复摆振动的角频率，ω＝I mgh /， 则复摆的摆动周期
T=2πmgh
I
（1.7）
2.复摆的转动惯量，回转半径和等值单摆长
由平行轴定理,I=I G +mh 2,式中I G 为复摆对通过重心G 并与摆轴平行的轴的转动惯量, (1.7)
式可写为 T=2πmgh
mh I G 2
+ （1.8）
可见, 复摆的振动周期随悬点O 与质量中心G 之间的距离h 而改变。
还可将I =I G +mh 2改写
2
2G 2I mR mh mR =+= (1.9)
式中R G =
m I G 为复摆对G 轴的回转半径, 同样也有R=m
I
， R 称为复摆对悬点O 轴的回转半径。
复摆周期公式也可表示为
T=2π
g
h h R G
+2 （1.10） 事实上, 总可以找到一个单摆,它的摆动周期等于给定的复摆的周期,令
L ＝h h
R G
+2 （1.11） 则 T= 2π
g
L
(1.12) 式中L 称为复摆的等值单摆长。
这样, 就它的振动周期而论,一个复摆的质量可以被认为集中到一个点上, 这个点距悬点(支点)的距离为
L ＝h h
R G
+2 则这个点被称为复摆的振动中心。
3.复摆的共辄性
图1－2给出一个复摆的示意图,假如它的振动中心在C 点, 悬点(支点)在O 点。
C 点和 O 点有下列特性:如果这个摆绕过C 点的一个新轴摆动,且该新轴平行于过O 点的轴,它的周期不变。
而O 变成了新的振动中心,这个悬点O 和振动中心C 被称作互为共轭, 即这个复摆以O 为悬点和以C 为悬点时有相同的周期,分别用T 1和T 2表示,且T I =T 2， 还有1h OG =, CG =h 2 从公式 (1.10)得到
04222
2
=+−G R gh T h π
(1.13)
式（1.13）是h 的二次方程，有两个根h 1和h 2，它们之间有以下关系
h 1h 2=R 2G (1.14)
2122
4T g
h h π+=
(1.15)
图1-2 复摆共轭性示意图
很容易得到L=h l +h 2, 此结果表示式(1.13)的两个根h 1和h 2之和恰等于复摆的等值单摆长。
(注意：这里一般h1≠h2)
4. 利用复摆测定重力加速度g
（1）公式（1.8）可以直接得到复摆振动周期T 与h (摆动轴到重心距离)的关系
mgT 2 h=4π2I G +4π 2mh 2
改变h ,有相应的T 。
T 2h 与h 2成直线关系,由直线斜率可求出g 。
(2) 还可由公式(1.8)
12112mgh mh I T G
+=π T 2 =2
2
2
2mgh mh I G +π 将两式中I G 消去，则有
22
212
2
221124h h T h T h g −−=π
分项得到
)
(2)(24212
2212122
212h h T T h h T T g −−+++=
π （1.16）
利用式(1.16)可以较精确地测定g 。
在(1.16)中,令 A ＝)(2212221
h h T T ++ B ＝)
(2212
2
21h h T T −− 可以看到：A 项是能被精确测定的, B 项则不能被精确测定, 因为其中包含了对重心位置的测定。
不过,当T1≈T2时，B 项的分子很小,而又可使分母|h l -h 2|比较大,这一不能被精确测定的B 项的数值很小,从而对g 的影响不大。
我们也可将B 项看作是由于两悬点间距离OC 不等于等值单摆长L 而作的修正。
(3) 利用复摆周期与摆轴位置的关系图求g 。
图1-3给出一个质量分布均匀的复摆的周期T 与h 的关系图。
T-h 图是两条对称曲线, T 有极小值.由公式(1.10), 对h 求微商,有
图1-3质量分布均匀的复摆的周期T 与h 的关系图
1
22
21G R R dT
h dh gh g g gh π−
⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎜⎟⎝
⎠⎝⎠G ⎟ （1. 17）
由极值的位置可得
R G ＝ h
也是图中两条曲线的极小值之间的距离，且 h 1+h 2=EF=2R G 。
取一周期为T 值（H 点）处引一直线MN 平行于横轴，交两条对称曲线于A 、、、B C D 四点，把这四点分成A 、C 和D 、两组，在摆杆上每一组中两点都位于质心G （图2所示）的两旁，并与质心处在同一直线上，不难看出：点B A 和、和C B D 具有共轭性，
，1AH HD h ==2BH HC h ==，1AC BD h h 2==+＝L 0为复摆在相应周期下的等值摆长，即
T=2π
g
L 0
,可以求出g 。
【实验装置】
实验室所用复摆及其测量装置如图1-4所示。
图1-4复摆实验装置示意图
1.T 形座架
2.调节螺丝
3.平衡块
4.立柱
5.立柱的接拆部
6.立柱上座
7.U 形刀承
8.刀口
9.摆杆 10.微调螺母11.桌子12.挡光针 13.光电门14.光电门支架15.光电计时器 16.桌上刀口17.
固定上座的螺丝18.摆杆接拆部
复摆摆杆是一个厚6mm 的矩形扁钢,杆长600mm, 杆上每隔10mm 钻一个直径为8mm 的圆孔,可用来支承刀口或插入刀口。
摆杆上自中心起向两端以米尺刻度, 分度值为1mm 。
杆的两端各有一个微调螺母,还有一 个指针, 作挡光计时用。
一个带有平衡块的T 形座架, 放在桌上或桌边上, 座架上安装一可接拆的立柱, 立柱顶端安装一个"上座", 其一侧是一个三角形的刀口, 正好可套入摆杆上的圆孔内,另一侧是一个U 形刀承,当在摆杆的圆孔中加上"插入刀口"后,也可将摆支承于此进行实验。
加重安装柱固着于咬合板上,用一对咬合板可以抱合在摆杆的任何部位,可加上加重片,其示意图见图1-5。
这个附件作周期微调用.还有一个桌上刀口,是测定摆 的质心位置用的。
铁锤、塑料锤大小各一个,可以套在摆杆上,并予以固定，组装成如图1-4所示的复摆。
整套装置均可接拆,连同各种附件装于木箱中。
图1-5加重示意图 1.摆杆2.咬合板3.加重安装柱4.加重片。