撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量
之比mm12.
【解析】从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球 A
和 B 的速度大小保持不变．根据它们通过的路程，可知 小球 B 和小球 A 在碰撞后的速度大小之比为 4∶1.
设碰撞后小球 A 和 B 的速度分别为 v1 和 v2，在碰
撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等． m1v0＝m1v1＋m2v2 ① 12m1v20＝12m1v21＋12m2v22 ② 利用vv21＝4，可解出mm12＝2.
4．如图所示，一质量 m2＝0.25 kg 的
平顶小车，车顶右端放一质量 m3＝0.2 kg 的 小物体，
小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数 μ＝0.5， 小车静止在光滑的水平轨道上．现有一质量 m1＝0.05 kg 的子弹以水平速度 v0＝30 m/s 射中小车左端，并留 在车中．子弹与车相互作用时间很短．若使小物体不从 车顶上滑落，求：
A 组成的整体与木块 B 通过弹簧相互作用的过程，动量
守恒，系统机械能守恒．子弹打入：mv0＝4mv1 打入后弹簧由原长到最短：4mv1＝8mv2 由机械能守恒有：12×4mv21＝12×8mv22＋Ep 解得 Ep＝116mv20.
(2)从弹簧原长到被压缩至最短再恢复原长的过程 中，木块 B 一直做变加速运动，木块 A 一直做变减速
v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有 mv1＝mv1′＋34mv2′ ④
12mv21＝12mv1′2＋1234mv2′2 ⑤ 联立④⑤式解得 v2′＝87v1 ⑥ 由题意知，b 没有与墙发生碰撞，
由功能关系可知1234mv2′2≤μ34mgl ⑦ 联立③⑥⑦式，可得 μ≥13123vg20l ⑧ 联立②⑧式，a 与 b 发生弹性碰撞，但 b 没有与墙 发生碰撞的条件13123vg20l≤μ<2vg20l ⑨
例 2 如图所示，水平地面上有两个静止的小物块 a
和 b，其连线与墙垂直；a 和 b 相距 l，b 与墙之间也相
距 l；a 的质量为 m，b 的质量为34m.两物块与地面间的 动摩擦因数均相同．现使 a 以初速度 v0 向右滑动．此 后 a 与 b 发生弹性碰撞，但 b 没有与墙发生碰撞．重力 加速度大小为 g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的 条件．
运动，相当于弹性碰撞，因质量相等，子弹和 A 组成的
整体与木块 B 交换速度，此时 B 的速度最大．设弹簧
弹开时 A、B 的速度分别为 v1′，v2′，有 4mv1＝4mv1′＋4mv2′ 12×4mv21＝12×4mv1′2＋12×4mv2′2 解得：v1′＝0，v2′＝v1＝v40.
【小结】子弹射入 A 的过程，是完全非弹性碰撞 过程，只有动量守恒．子弹和木块一起压缩弹簧到三者 具有相同速度时，弹簧第一次最短，此过程也是完全非 弹性碰撞过程，动量守恒，系统动能损失最多，损失的 动能转化为弹簧的弹性势能．从开始压缩弹簧到弹簧第 一次恢复到原长时，三者之间的作用又可视为弹性碰撞 过程，动量守恒，总动能不变．
专题突破(六) 弹性碰撞和完全非弹性碰撞
一、弹性碰撞 碰撞时，内力是弹性力，只发生机械能的转移，系
统内无机械能损失，叫做弹性碰撞．若质量分别为 m1、 m2，速度分别为 v1、v2 的两个物体在水平面上发生弹性 碰撞，依动量守恒且碰撞前后的总动能相等，
有：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′……(1) 12m1v21＋12m2v22＝12m1v1′2＋12m2v2′2……(2) 解(1)(2)得：v1′＝（m1－mm12）＋vm1＋2 2m2v2， v2′＝（m2－mm11＋）mv2＋2 2m1v1
(1)物体与车的共同速度； (2)小车的最小长度．(g 取 10 m/s2)
【解析】(1)对整体由动量守恒定律得 m1v0＝(m1＋ m2＋m3)v2
v2＝m1＋mm1v2＋0 m3＝0.050＋.050×.253＋0 0.2 m/s＝3 m/s (2)对 m1 和 m2 由动量守恒定律得 m1v0＝(m2＋ m1)v1 v1＝mm1＋1vm0 2＝00.0.055＋×03.205 m/s＝5 m/s
1．在光滑水平面上有两个相同的弹性小球 A、B， 质量都为 m，B 球静止，A 球向 B 球运动，发生正碰．已 知碰撞过程中机械能守恒，两球压缩最紧时弹性势能为 Ep，则碰前 A 球的速度为_2____Em_p____．
【解析】设碰前 A 球速度为 v0，根据动量守恒定 律有 mv0＝2mv，则压缩最紧(A、B 有相同速度)时的速 度 v＝v20，由系统机械能守恒有12mv20＝12×2m×v202＋ Ep，解得 v0＝2 Emp.
(1)两车碰撞过程中损失的机械能； (2)碰撞瞬间细线的拉力大小； (3)小球能摆起的最大高度．(设球不会碰车板且不 超过水平位置)
【解析】(1)两车碰撞时，甲、乙两车的系统动量守
恒， 有 mv0＝2mv1 则ΔE＝12mv20－12·2mv21＝14mv20 (2)两车碰后瞬间，小球速度仍为 v0，相对悬点的
【解析】设物块与地面间的动摩擦因数为 μ.若要物 块 a、b 能够发生碰撞，应有
12mv20>μmgl ① 即 μ<2vg20l ② 设在 a、b 发生弹性碰撞前的瞬间，a 的速度大小 为 v1.由能量守恒有 12mv20＝12mv21＋μmgl ③ 设在 a、b 碰撞后的瞬间，a、b 的速度大小分别为
vB′，由动量守恒定律，有
mvA2＝(m＋m)vB′，vA2＝2vB′＝2×2 m/s＝4 m/s
根据机械能守恒定律，有 mgh2＝12mv2A2 h2＝v22Ag2＝2×4210 m＝0.8 m. 所以 A 球的释放高度为 0.2 m≤h≤0.8 m.
3．在光滑的水平面上，质量为 m1 的 小球 A 以速率 v0 向右运动．在小球 A 的 前方 O 点有一质量为 m2 的小球 B 处于 静止状态，如图所示．小球 A 与小球 B 发生正碰后小 球 A、B 均向右运动．小球 B 被在 Q 点处的墙壁弹回 后与小球 A 在 P 点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰
2．如图所示，光滑轨道的下端离地 0.8 m，质量为 m 的 A 球从轨道上端无初速 释放，到下端时与质量也为 m 的 B 球正 碰，B 球碰后做平抛运动，落地点与抛出 点的水平距离为 0.8 m，求 A 球释放的高度 h 的范 围．(g＝10 m/s2)
【解析】B 球做平抛运动，有 x＝vB′t，
例 1 如图所示，光滑水平地面 上静止放置两个由弹簧相连的木 块 A 和 B，一质量为 m 的子弹，以速度 v0 水平击中木
块 A，并留在其中，A 的质量为 3m，B 的质量为 4m. (1)求弹簧第一次最短时的弹性势能； (2)何时 B 的速度最大，最大速度是多少？
【解析】(1)从子弹击中木块 A 到弹簧第一次达到 最短的过程可分为两个小过程：一是子弹与木块 A 的 碰撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块
速度为 v＝v0－v1＝v20 对小球，有 F－mg＝mvl2，得 F＝mg＋mv420l.
(3)两车碰后，三物系统机械能守恒，水平方向动量
守恒，小球摆至最高点时三者速度相同，有 2mv0＝3mv2 12mv20＋12·2mv21＝12·3mv22＋mgh 即 mgh＝12mv20＋12·2m(v20)2－12·3m(23v0)2＝112mv20 则 h＝1v220g.
y＝12gt2 得 vB′＝xt＝x
2gy＝0.8
2×100.8m/s＝2 m/s
A 球和 B 球在碰撞中若无能量损失，vA′＝0，由
动量守恒定律，有 mvA1＝mvB′，vA1＝vB′＝2 m/s
由机械能守恒定律，有 mgh1＝12mv2A1 h1＝v22Ag1＝2×2210 m＝0.2 m
A 球和 B 球在碰撞中若能量损失最大，则 vA′＝
④m2≪m1，则 v1′≈v1，v2′≈2v1，即质量很大的
运动物体碰后速度几乎不变，而质量很小的静止物体会 以 2 倍运动物体的初速度沿同一方向运动．
二、完全非弹性碰撞 发生完全非弹性碰撞时，内力是完全非弹性力，碰 后两物体粘连在一起或者虽未粘连但以相同的速度运 动．这种碰撞，只有动量守恒，机械能损失最大，损失 的机械能转化为内能． 有：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v， Δ E＝12m1v21＋12m2v22－12(m1＋m2)v2.
讨论： (1)若 m1＝m2，则有 v1′＝v2，v2′＝v1，即碰后彼 此交换速度，实现动量和动能的交换；
(2)若碰前 m2 是静止的，即 v2＝0. ①m1>m2，则 v1′>0，v2′>0，碰后两者同向运动； ②m1<m2，则 v1′<0，v2′>0，碰后，m1 反向弹回， m2 沿 m1 碰前的速度方向运动； ③m1≪m2，则 v1′≈－v1，v2′≈0，即质量很小 的物体以原速率反弹，质量很大的物体仍然静止．
对子弹射入小车后与 m3 组成的系统，依能量守恒
有：μm3gL＝12(m1＋m2)v21－12(m1＋m2＋m3)v22 将上述物理量代入得小车最小长度为 L＝1.5 m.
5．如图所示，甲车质量为 m，车顶用长为 l 且不 能伸长的细线系一质量为滑平直轨道上做匀速运动，某时刻 正好与一质量也为 m 的静止乙车厢相挂接(碰撞时间不 计，重力加速度为 g)，求：