近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆(一)填空题1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.2、设群Ｇ的元a 的阶是n,则ａk 的阶是＿____＿_＿.3. 6阶循环群有_＿_＿_____个子群.４、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为———。

5． 模８的剩余类环Z 8的子环有____＿____个.6.整数环Z 的理想有＿________个．７、ｎ次对称群S ｎ的阶是——————。

８、９-置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。

9.剩余类环Z 6的子环Ｓ={[0］,［2]，［4］},则Ｓ的单位元是_＿_＿＿___＿___. 1０. 24中的所有可逆元是：＿＿_＿＿__________＿__＿_＿＿__＿_.1１、凯莱定理的内容是:任一个子群都同一个___＿___＿同构。

12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于_____＿＿_＿__,(2）若a 的阶为n ，则G 同构于＿_____＿＿____。

１３． 在整数环中，23+=___＿_____________＿；１４、n 次对称群S ｎ的阶是_____.1５. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___＿__＿___＿。

１6、除环的理想共有____＿______＿个。

17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__＿_＿__＿＿_.18、在整数环Ｚ中，由｛2,3}生成的理想是______＿_＿.1９． 剩余类环Ｚ7的可逆元有_______＿＿＿个.20、设Ｚ11是整数模11的剩余类环，则Z １1的特征是_________.21. 整环Ｉ={所有复数a+ｂi(a,b 是整数）},则I 的单位是__________.22. 剩余类环Ｚn 是域⇔n 是＿_＿_＿____．23、设Ｚ7 ＝{0，1,2,3，４,５,6}是整数模７的剩余类环,在Z 7 [ｘ]中, (5x-4）(3x+2)=________.24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =__＿_______＿____。

2５、设群G ＝{e,a 1，a 2，…,a n -１}，运算为乘法,e 为G 的单位元,则ａ1ｎ =___.26． 设A ＝{a ，b,c},则Ａ到A 的一一映射共有__________个.27、整数环Z 的商域是_______＿.28． 整数加群Z 有__＿___＿___个生成元.2９、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且仅当I 是————————。

30． 已知1234531254σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为5S 上的元素，则1σ-=___＿_＿____。

３1. 每一个有限群都与一个_＿＿＿＿_____群同构。

32、设I 是唯一分解环，则I[ｘ]与唯一分解环的关系是——————。

二、基本概念的理解与掌握。

(二）选择题１．设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素，那么，Ａ与Ｂ的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A.２ Ｂ．５ C.7ﻩﻩ ﻩD.1０2.设A=B ＝Ｒ（实数集)，如果Ａ到B 的映射ϕ:x →ｘ＋２,∀x ∈Ｒ，则ϕ是从A 到B 的( ）A.满射而非单射 ﻩB.单射而非满射 Ｃ.一一映射D.既非单射也非满射 3.设Ｚ15是以15为模的剩余类加群，那么，Z １5的子群共有( ）个。

A.2ﻩ Ｂ.4 C.6ﻩ Ｄ.８4、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是( )A 5；B ６；C 7；D 9.5、下面的集合与运算构成群的是 ( )A {0，1},运算为普通的乘法；B {0，１｝，运算为普通的加法；C {-1，１｝，运算为普通的乘法;D ｛－1,1}，运算为普通的加法；6、关于整环的叙述,下列正确的是 ( )A 左、右消去律都成立;B 左、右消去律都不成立；Ｃ 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述,下列不正确的是 （ ）A 在环的同态满射下，理想的象是理想;Ｂ 在环的同态满射下,理想的逆象是理想;C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身.8.整数环Z 中，可逆元的个数是( ）。

A.1个 ﻩﻩB.2个ﻩ ﻩＣ.4个 ﻩ D.无限个９. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ａ,ｂ,c ，d ∈R,R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和 乘法构成Ｒ上的二阶方阵环,那么这个方阵环是( )。

A ． 有单位元的交换环B ． 无单位元的交换环C. 无单位元的非交换环 Ｄ. 有单位元的非交换环１0. 设Z 是整数集，σ(a)＝⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ,Z a ∈,则σ是R 的（ ）.Ａ. 满射变换 B ． 单射变换 C. 一一变换 ﻩ Ｄ． 不是Ｒ的变换1１、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到Ａ的一个子集 的同态满射的是( ).A 、x→１0xB 、x→2xC 、x→｜x|D 、x→-x .１2、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中（ )A 、不适合交换律B 、不适合结合律C 、存在单位元 Ｄ、每个元都有逆元.13.设3S ={（1),（1 2），（1 3)，（2 3）,（１ ２ ３),（1 ３ 2)},则3S 中与元（１ 2 ３)不能交换的元的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、４.１4、设(),G 为群,其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。

那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）A 、０和x -；B 、1和0； Ｃ、k 和2x k -； D 、k -和(2)x k -+15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。

如果H =６,那么G 的阶G =( )A 、6B 、2４ Ｃ、10 D 、1216.整数环Ｚ中，可逆元的个数是( ）.A 、1个B 、２个 Ｃ、4个 D 、无限个。

17、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为( )A 、若a 是零元,则b 是零元B 、若a 是单位元,则b 是单位元C 、若a 不是零因子,则b 不是零因子 Ｄ、若2R 是不交换的，则1R 不交换１8、下列正确的命题是（ )A 、欧氏环一定是唯一分解环B 、主理想环必是欧氏环C 、唯一分解环必是主理想环D 、唯一分解环必是欧氏环１9. 下列法则，哪个是集Ａ的代数运算( )．A. A=N, a b=a ＋b －2B. A=Ｚ，ａ ｂ＝ba C. A=Q, a b=ab Ｄ. A ＝R ， a b ＝ａ＋b+a ｂ2０. 设Ａ={所有非零实数x ｝,A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到Ａ的一个子集A 的同态满射的是（ ).A. x →-x ﻩB. x →x 1 Ｃ. x →x1- Ｄ. ｘ→５x21. 在３次对称群S 3中,阶为3的元有( ).A. 0个 ﻩﻩB ． 1个 C. 2个 ﻩ D. ３个22．剩余类环Ｚ6的子环有（ ).Ａ. ３个 B. ４个 Ｃ. ５个 D ． ６个２3、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x ( )A ．11--a bc ; Ｂ.11--a c ; C.11--bc a ; Ｄ.ca b 1-。

24、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A.f 的同态核是1G 的不变子群；B.1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

C ．1G 的子群的象是2G 的子群；Ｄ.2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群;２5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果H =６，那么G 的阶=G （ ）Ａ.6; Ｂ.24； Ｃ.１０; Ｄ.12。

(三)判断题（每小题2分,共12分）1、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

( ）2、除环中的每一个元都有逆元。

( ）3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。

（ )4、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。

( ）5、域是交换的除环。

（ )6、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子。

（ ）7、设ｆ：G G →是群G 到群G 的同态满射,a ∈G ，则a 与ｆ (a ）的阶相同。

（) 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（ ）9、循环群的子群也是循环群。

( )１0、整环I 中的两个元素a,ｂ满足a 整除ｂ且b 整除a ，则a=ｂ。

（ )11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。

（ ）12、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。

( ）13、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元10≠。

（ ）14、指数为2的子群不是不变子群。

( ）１５、在整数环Z中，只有±1才是单位,因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。

（）1６、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位。

(）1７、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。

( ）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。

( )１9、整环必是唯一分解环。

()２0、在唯一分解环K中,p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。

（）21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在,且任意二个最大公因子相伴。

( )22、整数环Z和环[]Q x都是主理想环。

（)２3、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。

( )24、整数环Z、数域P上的一元多项式环[]P x和Gａuｓｓ整环[]Z i都是欧氏环。

（)25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。

反之亦然。

（）２６、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环。

（）27、设环><,,R的加法群是循环群,那么环R必是交换环.（）+•2８、对于环Ｒ，若a是R的左零因子，则a必同时是R的右零因子.（）29、剩余类Z是无零因子环的充分必要条件是m为素数.（）m30、整数环是无零因子环，但它不是除环。

（）31、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域. （ ） 32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。

（ ）３3、理想必是子环,但子环未必是理想. （ )34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ )35、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。