解析:由已知 f(x)≤1,
2 x 1, x 1 1, 得 或 x 0 x 0,
分别解这两个不等式组得-1≤x<0 或 0≤x≤2, 所以 f(x)≤1 的解集为[-1,2].
答案:[-1,2]
考点专项突破
考点一 一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式: (1)x2-7x+12>0;(2)-x2-2x+3≥0; 解:(1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.
(2)-x2-3x+4>0⇒(x+4)(x-1)<0⇒-4<x<1. 答案:(1)D (2)(-4,1)
考点二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 导学号 18702278 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解:原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0, ①当a=0时,可解得x>1.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的条件是什么?
a 0, 提示: 0.
知识梳理
1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
函数与不等式 二次函数 2 y=ax +bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相等实根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2} x1=x2=
(C)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(1 x)(2 x) 0, 解析:原不等式化为 2 x 0, ( x 1)( x 2) 0, 即 x 2 0,
解得-2<x≤1.
3.(2015·黑龙江期末)设一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1< x<2},则 ab 的值为( (A)1 (B)1 4
b 2a
Δ >0
Δ =0
Δ <0
无实根
{x|x≠x1}
R


2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为
3.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为 0,左边化为 形式.
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:
f ( x) >0 ⇔ f(x)g(x)>0; g ( x) f ( x) <0 ⇔ f(x)g(x)<0; g ( x)
故原不等式的解集为{x|x>1}.
反思归纳
解一元二次不等式的步骤:(1)将二次项系数化为正数;(2)
解相应的一元二次方程 ;(3) 根据一元二次方程的根 , 结合不等号的方 向画图;(4)写出不等式的解集.
【即时训练】 (1)(2015· 重庆卷)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是 ( )
第 2节
一元二次不等式及其解法
最新考纲
1.会从实际问题的情境中抽 象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与 相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元 二次不等式,会设计求解的程序框图.
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
知识链条完善
【教材导读】
B )
(C)4
(D)2
1 2
解析:因为一元二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为 {x|-1<x<2}, 所以方程 ax2+bx+1=0 的解为-1,2, 所以-1+2=所以 a=b 1 ,(-1)×2= , a a
1 1 ,b= , 2 2 1 . 4
所以 ab=-
2 x , x 0, 4.(2016· 泉州模拟)已知函数f(x)= 若f(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)≤1,则x的取值范围 x 1, x 0, 是 .
{x|-3≤x≤1}.
(3)已知函数f(x)=
2 x 2 x, x 0, 解不等式f(x)>3. 2 x 2 x, x 0,
x 0, x 0, 解:(3)由题意 2 或 2 解得 x>1. x 2 x 3, x 2x 3
(A)[-3,1]
(C)(-∞,-3]∪[1,+∞)
(B)(-3,1)
(D)(-∞,-3)∪(1,+∞) .(用区间表示)
(2)(2015· 广东卷)不等式-x2-3x+4>0的解集为 解析:(1)由题意得x2+2x-3>0, 即(x-1)(x+3)>0,解得x>1或x<-3,
所以定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).故选D.
(A){x|1≤x≤2} (C){x|1<x<2} (B){x|x≤1或x≥2} (D){x|x<1或x>2}
)
解析:由(x-1)(2-x)≥0可知(x-2)(x-1)≤0, 所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.
2.不等式 1 x ≥0的解集为( B (A)[-2,1]
2 x
) (B)(-2,1] (D)(-∞,-2]∪(1,+∞)
在讲练中理解知识
而y=x2-7x+12的图象开口向上,可得原不等式x2-7x+12>0的解集是 {x|x<3或x>4}.
(2)不等式两边同乘以-1,原不等式可化为
x2+2x-3≤0. 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
而y=x2+2x-3的图象开口向上,可得原不等式-x2-2x+3≥0的解集是
f ( x) 的 g ( x)
f ( x) g ( x) 0, f ( x) ≥0⇔ g ( x) g ( x) 0; f ( x) g ( x) 0, f ( x) ≤0⇔ g ( x) g ( x) 0.
对点自测
1.(2016· 山东临沂模拟)不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( A
把散落的知识连起来
1. 若a≠0, 则函数 y=ax2+bx+c 与方程 ax2+bx+c=0 与不等式 ax2+bx+c>0 之 间有何关系?
提 示 : 对 于 函 数 y=ax2+bx+c, 令 y=0 可 得 ax2+bx+c=0, 令 y>0 可 得
ax2+bx+c>0,也就是说函数y=ax2+bx+c的零点是方程ax2+bx+c=0的根,也 是不等式ax2+bx+c>0解集的端点值.