2008年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数一、判断题（共60分，每小题6分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）1.对多项式18+x 来说，不存在素数p 满足艾森斯坦()Eisenstein 判别法的条件，故18+x 不是有理数域上的不可约多项式。
2.若数域P 上的多项式)(x f 在复数域上有重根，则在P 上一定有重因式。
3.设向量组（I ）的秩大于向量组（II ）的秩，则（I ）不能由（II ）线性表出。
4.设B A ,都是n 阶方阵，A 是对角矩阵，BA AB =，则B 也是对角矩阵。
5.设B A ,都是半正定矩阵，则AB 的特征值大于或等于0。
6.设),2,1(s i V i =是n 维线性空间V 的子空间，n s <≤2，若{}0=j i V V()j i ≠，则s V V V +++ 21是直和。
7.实矩阵n m R A ⨯∈的秩为n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵C B ,，有AC AB =可推得C B =。
8.设b a ,属于数域P ,[]{}{}0))((,)()( n x f x P x f x f V <∂∈=，则V 是一个线性空间，并且)()(:b ax f x f +→ϕ是V 上的一个线性变换。
9.)(λλA 矩阵-是可逆的当且仅当)(λA 的行列式0)(≠λA 。
10.在n 维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。
二、计算题（每小题10分，共40分）1.设()n j i a ji nj n i ij ,2,1,=--=βαβα，n 阶方阵()ij a A =，求A 的行列式A 。
2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=143021002A 的所有不变因子，初等因子以及若尔当()Jordan 标准形。
3.设[]4x P 是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换()()()()()x f x f x f x x f ++='''2ϕ的特征值，求最大特征值的特征向量。
4.已知三维欧几里得空间V 中有一组基321,,ααα，其度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110121012A ，求向量312ααβ-=的长度。
三、证明题（1，2题每小题10分，3，4题每小题15分，共50分）1.设V 是一个n 维线性空间，1V 是一个r 维子空间，2nr ≤，证明：存在一个线性变换ϕ，使得()V V ϕϕ⊆=-011。
2.设分块实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b A a A '1'00γγββ，其中n n n R A R R b a ⨯∈∈∈1,,,,γβ，证明：A 正定的充要条件是0,0>>b a 且矩阵''111γγββba A --正定。
3.设[]x C 是由所有复系数多项式所构成的集合，n n C A ⨯∈，令[]{}x C x f A f V ∈=)()(，设A 最小多项式的次数为m ，证明：（1）V 是一个有限维线性空间；（2）12,,,,-m A A A E 构成V 的一个基。
4.设V 是数域P 上的有限维线性空间，ϕ是V 上的线性变换，()()221)(--=λλλf 是ϕ的最小多项式；再设()()2,1=-=k k Ker V kk ϕε，其中()•Ker 表示核空间，证明：21V V V ⊕=。
高等代数考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。
一、（20分）c bx ax x x f +++=23)(是整系数多项式，若c a ,是奇数，b 是偶数，证明：)(x f 是有理数域上的不可约多项式。
二、（20分）设ϕ是欧式空间V 的一个正交变换，λ和μ是ϕ两个不同的特征值，设ϕ的属于λ的特征向量为α，属于μ的特征向量为β，证明：α和β是正交的。
三、（20分）设B A ,为n 级矩阵满足22,2B B E A A ==+且BA AB =，证明：存在可逆矩阵Q 使得AQ Q 1-和BQ Q 1-都是对角矩阵。
四、（30分）求二次型211)(∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ni n j ji nx x x f 的矩阵及正负惯性指数。
五、（30分）设ϕ是有限维线性空间V 上的线性变换，证明：()01-⊕=ϕϕV V 的充要条件是V V ϕϕ=2。
六、（30分）设n 维线性空间上的线性变换ϕ的特征多项式为()(),,)(212121λλλλλλλ≠--=nnf并有()()1112111111,,-=-=-=n n ααελϕααελϕαλϕα ，， ()()1212212122,,-=-=-=n n ββελϕββελϕβλϕβ ，证明：211121,,n n βββααα，，，，， 构成整个线性空间的一组基，并写出ϕ在这组基下的矩阵。
高等代数一、（15分）计算行列式7300047000007300047300047=n D 。
二、（15分）设整系数多项式3)(24-++=bx ax x x f ，记())(),(x g x f 为)(x f 和)(x g 的首项系数为1的最大公因式，)('x f 为)(x f 的导数，若())(),()('x f x f x f 为二次多项式，求22b a +的值。
三、（16分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111003A ，求矩阵A 的若尔当标准形和A 的有理标准形。
四、（15分）设n 级行列式ij ij n A a D ,0≠=为n D 中的元素ij a 的代数余子式，证明：当nr <时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a有一个基础解系为：()jn j j A A A ,,,21 ， n r r j ,,2,1 ++=。
五、（20分）设V 是由数域F 上x 的次数小于n 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义V 上的线性变换A ，使())()()('x f x xf x f A -=，其中)('x f 为)(x f 的导数，（1）求A 的核()01-A 与值域AV ；（2）证明：线性空间V 是()01-A 与AV 的直和。
六、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121031242A ，请把A 分解为一个可逆矩阵B 和一个幂等矩阵C （即C C =2）的乘积。
七、（14分）已知A ，B 都为n 级正定矩阵，证明：（1）A 中绝对值最大的元素在主对角线上；（2）B A B A +>+。
八、（10分）设A ，B 为复数域上的n 级矩阵，A 和B 无公共特征根，证明：关于X 的矩阵方程XB AX =只有零解。
九、（15分）设复数0≠c 为某个非零有理系数多项式的根，记{}0)()()(==c f x f x f M 为有理系数多项式，（1）证明：M 中存在唯一的首项系数为1的有理数域上的不可约多项式)(x p ，使得对任意的M x f ∈)(，都有)()(x f x p 成立；（2）证明：存在有理数域上的多项式)(x g ，使得cc g 1)(=； （3）令i c +=3，求（1）中的)(x p 。
十、（15分）设n 级循环矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----------0132110432340122310112210a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A n n n n n n n n n n 。
（1）试把A 表示为一个n 级可逆矩阵T 的多项式；（2）证明：所有的n 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化。
2011年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。
一、（15分）计算行列式xaa a a a xa a a a a xa a a a a xaaa a a x D ----------=。
二、（15分）设)(),(21x f x f 是数域P 上的两个多项式，满足()12++x x)()(3231x xf x f +，证明：()1-x ())()(21x f x f ，。
三、（10分）设n 级实矩阵()ij a A =满足：对任意的n j i ≤≤,1且j i ≠，不等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>∑∑≠≠j t jt i k ikjj ii a a a a 成立，证明：0≠A 。
四、（15分）设A 为n 级实对称半正定矩阵，B 为n 级正定矩阵，证明：B B A ≥+。
五、（15分）设A 是一个n 级矩阵，证明：（1）A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X ,有0'=AX X ；('X 表示X 的转置)（2）如果A 对称矩阵，且对任一个n 维向量X ，有0'=AX X ，那么0=A 。
六、（15分）设1V 和2V 分别是齐次方程组021=+++n x x x 与n x x x === 21的解空间，证明：21V V P n ⊕=。
七、（20分）设三维线性空间V 上的线性变换ϕ在基321εεε，，下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A 。
（1）求ϕ在基321εεε，，下的矩阵；（2）求ϕ在基321εεε，，k 下的矩阵，其中P k ∈且0≠k ； （3）求ϕ在基3221εεεε，，+下的矩阵。
八、（20分）用正交线性替换化下列二次型为标准形：32312122284422321x x x x x x x x x ++---。
九、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=251000342A ，求E A A 7370520-+。
（其中E 为单位矩阵）十、（10分）证明：任一n 级方阵和它的转置矩阵相似。