y
几何意义
B2
c2 b2 a2
A1
c bA2
0a
x
B1
8
问题1：根据方程画出下列双曲线的图形
1 x y 12 x2 y2 13 x2 y2 1
94
y
o
x
9
2、等轴双曲线
方程
x2 y2 ( 0)
a,b,c的关系
离心率 渐近线
ab 2 c 2
e 2
y x
y
y x
o
x
10
问题2：求下列双曲线的渐近线：
b
20
(1)双曲线
x2 y2 a2 b2 1
的共轭双曲线方程
y2 x2 b2 a2 1
即把双曲线方程中的常数项1改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。
(2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (3)双曲线和它的共
轭双曲线的四个焦点共圆.
14
y x
焦点在x轴上
焦点在y轴上
方程
实轴、虚轴
离心率
渐近线
e>1
2b2/a
3
问题1：根据方程画出下列双曲线的图形
1 x y 12 x2 y2 13 x2 y2 1
94
y
y
O
x
O
x
22567.rar
4
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时， 双曲线与直线逐渐靠拢。
方案1：考查点到直线的距离 MQ
方案2：考查同横坐标的两点间的距离 MN
(由双曲线的对称性知，我们只需 证明第一象限的部分即可)
过焦点垂直于实轴的弦
2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
过焦点垂直于实轴的弦 2b22/a
标准方程
椭圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
双曲线
x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)
几何 图形
范围 对称性 顶点
a,b,c的含义
离心率e定义 通径、通径长
y B2
A1
A2
F1 0 F2
x
B1
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点：A1（-a，0），A2（a，0） y
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程： x y 0 6、离心率： e c a b 7、通径： 2b2 a
B2
A1 O ab A2
B1
a
x
18
小 结 焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线性质：
双曲线标准方程： y2
叫做双曲线的渐近线。
7
解释说明：
(1)渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线
开口的开阔程度。
(2)两条渐近线的交点是双曲线的中心。
(3)以四条直线x=±a和y=±b(或x=±b和y=±a）围成 的矩形的对角线所在直线就是渐近线。
(4)两条渐近线相交所成的角叫夹角（含双曲线的部
分）：2种求解方式。
1 4x2 y2 42 y2 x2 1
9 16
解：1 x2 y2 1 y 2 x y 2x
14
1
2 y 3 x
4
结论1：把双曲线方程中的常数项1改为0，就得到了 它的渐近线方程。
推广到一般：双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为： Ax±By=0
11
结论2：如果已知双曲线的渐近线方程为：Ax±By=0，
说明：1、渐近线为 x y
ab
2、椭圆
x2 a2
y2 b2
0
1
与的双双曲曲线线方a2x程2 k可表k 示y2b为2 ax221(ab2y22
k
(
b2)
0)
有相同的焦点坐标。
17
小 结 焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： x2
a2
y2 b2
1a 0, b 0
双曲线性质：
1、范围： x≥a或x≤-a
F2
y ≥ a 或 y ≤ -a
中心对称，轴对称
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0)
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a （实半轴长） c（半焦距） a（实半轴长） c（半焦距长）
b （虚半轴长） a2=c2-b2
b（虚半轴长） a2=c2-b2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
b a
x无限接近，但永远
也不能相交。
6
1、双曲线渐近线：
对于双曲线 x2 a2
y2 b2
1，直线y
b a
x
叫做双曲线的渐近线。
双曲线渐近线的斜率的绝对值越 大,双曲线的开口越开阔。
x
y
B2
A1 O ab A2
x
B1
A1 O ab A2
B1
B2
y
对于双曲线 y2 a2
x2 b2
1，直线y
a b
x
x2 a2
y2 b2
1
x2 y 2 1 a2 b2
实轴长=2a、虚轴长=2b 实轴长=2b、虚轴长= 2a
1 e12
1 e2 2
1
yb x a
焦点
共轭双曲线的焦点共圆
15
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
渐近线为： x y 0
ab
则它的共轭双曲线方程是: 渐近线为:
y2
16
1、求双曲线 x2 y2 1 的共轭双曲线的顶点和焦点坐
94
标及渐近线和准线方程。
2、求与椭圆
x2 y2 1
有共同的焦点，且与椭圆相交，
27 36
一个交点的纵坐标为4的双曲线方程。
3、已知双曲线与椭圆 x2 4y2 64 共焦点 ，它的一条渐近线 方程为 x 3y ，0 求双曲线的方程。
N (x,Y)
Y
Q
M （x,y)
b (x x2 a2 )(x x2 a2 ) •
a
ab
x x2 a2
O
X
x x2 a2
Q MQ 是点M到直线y b 的距离，且 MQ MN 。当x逐渐增大时， a
MN 逐渐减小，x无限增大，MN 接近于0，MQ 也接近于0，但不等于0
同理，由双曲线的对称性知：双曲线与直线y=
3
例3、求与双曲线 x2 y有2 共1 同渐近线且一个
9 16
焦点为（0，10）的双曲线的标准方程。
13
例4、求中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为2 3， 且两条渐近线相交所成的角（含双曲线部分） 为600的双曲线方程。
3、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚
轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线, 则
b2
y
x
x2 a2
1
0可化为：
x
y
0
ba
ab
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线
(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)
它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),
∵ c a2 b2 c a2 b2 ∴c=c'
所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆 x2 y2 a2 b2 =c2上. 问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？
性 双质 曲 线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a, 0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0, a) y a x
c2 a2 b2)
有
共同的渐近线。
****求双曲线的渐近线方程的方法：定义法和方程法。
12
求下列双曲线的方程： 例2、已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近 线方程为 y 4，x 且实轴长为6，求此双曲线的
3
标准方程。 变式：已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐 近线方程为 y 4 ，x 求此双曲线的离心率。
去求双曲线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线 方程为：A 2x 2-B 2y 2=λ（λ≠0） 其中λ为待定的系数，再 根据题目中的一个条件，求出λ，方程得到求解。若λ>0, 则双曲线焦点在x轴上，若 λ<0，则双曲线焦点在y轴上。
结论3:双曲线
x2 m2
y2 n2
1
与
x2 m2
y2 n2
0
|x |≤a 、|y |≤ b
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
a2=b2+c2
0<e<1 2b2/a
y
X=-a
X=a
B2
A
F1 1
0
A2 F2
B1 x
x ≥a 或 x ≤ -a
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) 、 A2(a,0)
c2=a2+b2
设M (x, y)是它上面的点,
y
N QM
B2
则y b x2 a2 (x a) a
N (x，Y )是直线y b x a
上与有相同横坐标的点，
则Y b x a
A1 O
b a
A2
x
B1
x2 a2
y2 b2
1(a