铁山兰教育五星级私人教师教案教材梳理知识点一零点与方程根1.函数的零点: 如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.归纳: 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.求函数的零点①(代数法)求方程的实数根；②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．3.二次函数零点的判定二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表:4.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时（不是二重零点）,函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立.5.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质.引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数.6.零点存在性的探索(1)观察二次函数的图象:①在区间上有零点__________;_______， _______,______0（＜或＞＝）②在区间上有零点__________;_______0（＜或＞＝）．(2)观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．②在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．③在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．提出问题:①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？②怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？7.零点存在定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.知识点二用二分法求方程的近似解1.二分法定义:对于在区间上连续不断,且满足的函数,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.2.二分法步骤: 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间,验证,给定精度；(2)求区间的中点；(3)计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点）；(4)判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤知识点三函数的模型及其应用(1)几类不同增长的函数模型利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2)函数模型及其应用建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图,选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际,如果不符合实际,则改用其它函数模型,重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．典例分析题组一函数零点的判定1.若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且函数在内有一个零点，则的值 ( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析:若函数内有一个零点，则该零点是变号零点，则，若不是变号零点，则.2.设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：*3.若方程的解为，则不小于的小整数是 .解析：题组二函数零点的求法4.(2009福建)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 ( )解析：5.设函数,则函数的零点是 .解析：题组三函数零点的应用6.若二次函数，则函数的零点个数是 ( )A.1个B.2个C.0个D.不确定解析：即7.(2009山东高考)若函数有两个零点, 则实数的取值范围是 .解析：函数的零点的个数就是函数与函数交点的个数，由函数的图象可知时两函数图象有两个交点，时两函数图象有唯一交点，故.8.已知关于的二次函数(1)求证：对于任意，方程必有实数根；(2)若，求证：方程在区间内各有一个实数根.解析：针对性练习1.(2010岳阳)设是函数的零点，则在区间 ( )解析:2.设函数，则 ( )3.(2010潍坊)函数的零点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3解析:如图,在同一坐标系内分别作出的图象，观察图象易知两函数图象有两个交点，即原函数有2个零点．4.若函数没有零点，则实数的取值范围是 ( )解析:由题意，函数没有零点，即方程无解，即方程的判别式小于零，解不等式解得5.(2010上海)若是方程的解，则属于区间 ( )A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)6.已知函数则函数 ，则函数f(x)零点个数为 （ ）A.1B.2C.3D.4解析:只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与轴有三个交点，即函数的零点有3个.7.设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：8.设上的增函数，且,则方程内 ( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析：由上是增函数，且，知在上有唯一实数根，所以方程上有唯一实数根.9.设函数与的图象的交点为,则所在的区间是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：令，可求得：易知函数的零点所在区间为10.用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点_______,第二次应计算______.解析:11.若函数的两个零点是，则不等式的解集是__________．解析:由于的两个零点是，即方程的两个根是，12.已知函数,若在上存在, 使，则实数的取值范围是 .解析:课外练习1.已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）A.函数在或内有零点B.函数在内无零点C.函数在内有零点D.函数在内不一定有零点解析：C 唯一的零点必须在区间，而不在2.如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析：D 或3.求零点的个数为（ ）A. B. C. D.解析：C，显然有两个实数根，共三个4.设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D.不能确定解析：B5.已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ） A. B. C. D.解析:由题意，可知，故在上必存在零点．故选C6.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.解析:由方程的判别式小于0，可得，故选B7.设函数是上的增函数，且，则方程在内 ( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析:上是增函数且8.若已知，则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C., D.,.解析:若不连续可能没有零点，若在该区间有二重零点可能有正偶数个零点.9.函数在区间内的函数值 ( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于0解析:的两个零点是1和2，在1和2之间函数值同号.又，故选D.10.如图,下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )解析:用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.11.函数的零点个数为解析: 分别作出的图象；12.用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
解析: 令13.已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：－2－1.5－1－0.500.51 1.52-3.51 1.02 2.37 1.56-0.38 1.23 2.77 3.45 4.89函数在哪几个区间内有零点？为什么？解析:因为函数的图象是连续不断的，并且由对应值表可知，，，所以函数在区间,以及内有零点.14.证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点.证明：函数的定义域为，函数的图像在区间上是连续的. ，,,函数在区间上至少有一个零点.能力提升1.解:故只需2.解： ∴若实数满足条件，则只需即可．3.利用给定函数模型解决实际问题有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解: 设投入甲产品资金为万元（，投入乙产品资金为万元，总利润为万元．通过配方求函数最值则=当时，答：对甲、乙产品各投资为1.5万元，获最大利润为万元4.建立确定的函数模型解决实际问题2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度（J） 1.6 3.2 4.5 6.4震级（里5.0 5.2 5.3 5.4氏）注：地震强度是指地震时释放的能量(1)画出震级随地震强度变化的散点图；(2)根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级随地震强度变化关系：，(3)四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？（取）解：（1）散点图如下图：（2）根据散点图，宜选择函数。
（3）根据已知，得解得：当时， （J）通过观察图表，判断问题适用的函数模型，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题.5.某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解:设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，由且 得设客房租金总上收入元，则有：由二次函数性质可知当时,所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.函数模型一次函数模型：二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（＞0，）。