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人教版中考数学压轴题型24道:二次函数专题含答案解析

人教版中考数学压轴题24道:二次函数专题1.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当=时,求t的值;(3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.2.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标;(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA 的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.4.已知函数y =(n 为常数)(1)当n =5,①点P (4,b )在此函数图象上,求b 的值;②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为A (2,2)、B (4,2),当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.5.在平面直角坐标系xOy 中(如图),已知抛物线y =x 2﹣2x ,其顶点为A .(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标,并说明它的变化情况;(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.①试求抛物线y =x 2﹣2x 的“不动点”的坐标;②平移抛物线y =x2﹣2x ,使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x 轴交于点C ,且四边形OABC 是梯形,求新抛物线的表达式.6.如图,抛物线C1:y=x2﹣2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.(1)求抛物线C2的解析式;(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC面积最大?并求出最大面积.7.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(﹣3,0),C(1,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.8.如图,抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x与该抛物线交于E,F两点.(1)求抛物线的解析式.(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值.(3)以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,说明理由.9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.10.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.11.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平行于x轴.PM⊥l于点M,点F(0,﹣1).(1)求二次函数的解析式;(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QN⊥l于点N,线段MF的中垂线交l 于点R,求的值;(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E(3,2),点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1)求直线DE和抛物线的表达式;(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N (点M在点N的上方),且MN=2,动点Q从点P出发,沿P→M→N→A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.13.如图,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y 轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象,得到的新图象与直线y=t恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.当以EF为直径的圆过点Q(2,1)时,求t的值;(3)在抛物线y=x2+bx+c上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x 的取值范围.14.把函数C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).(1)填空:t的值为(用含m的代数式表示)(2)若a=﹣1,当≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.15.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交直线AB于点E.(1)求抛物线的函数表达式(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.16.如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由.(3)已知点P是直线y=x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.17.两条抛物线C1:y1=3x2﹣6x﹣1与C2:y2=x2﹣mx+n的顶点相同.(1)求抛物线C2的解析式;(2)点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点,过点A作AP⊥x轴,P为垂足,求AP+OP的最大值;(3)设抛物线C2的顶点为点C,点B的坐标为(﹣1,﹣4),问在C2的对称轴上是否存在点Q,使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.19.已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点A (﹣3,﹣7)和B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C.(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式.(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点),是否存在点D,使得S△DAC=2S△DCM?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标.20.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)当△PCF的面积为5时,求点P的坐标;(3)当△PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.21.如图,抛物线y=(x﹣1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;②当h=9时,直接写出△BCP的面积.22.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=,交x轴于点A、B,交y轴于点C,且点A坐标为A(﹣2,0).直线y=﹣mx﹣n(m>0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q 的右边),交y轴于点H.(1)求该抛物线的解析式;(2)若n=﹣5,且△CPQ的面积为3,求m的值;(3)当m≠1时,若n=﹣3m,直线AQ交y轴于点K.设△PQK的面积为S,求S与m 之间的函数解析式.23.综合与探究如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为.(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.24.如图,在直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x=1的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC.(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:(1)直线y=﹣x+4中,当x=0时,y=4∴C(0,4)当y=﹣x+4=0时,解得:x=4∴B(4,0)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点∴解得:∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4(2)∵B(4,0),C(0,4),∠BOC=90°∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB=45°∵ME⊥x轴于点E,PB=t∴∠BEP=90°∴Rt△BEP中,sin∠PBE=∴BE=PE=PB=t∴x M=x P=OE=OB﹣BE=4﹣t,y P=PE=t∵点M在抛物线上∴y M=﹣(4﹣t)2+3(4﹣t)+4=﹣t2+5t∴MP=y M﹣y P=﹣t2+4t∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°∴四边形ONPE是矩形∴ON=PE=t∴NC=OC﹣ON=4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得:t1=,t2=4(点P不与点C重合,故舍去)∴t的值为(3)∵∠PEB=90°,BE=PE∴∠BPE=∠PBE=45°∴∠MPD=∠BPE=45°∴∠DMP=90°,即DM∥x轴,与题意矛盾①若MD=MP,则∠MDP=∠MPD=45°∵∠AEM90°②若DM=DP,则∠DMP=∠MPD=45°∴AE=ME∵y=﹣x2+3x+4=0时,解得:x1=﹣1,x2=4∴A(﹣1,0)∵由(2)得,x M=4﹣t,ME=y M=﹣t2+5t∴AE=4﹣t﹣(﹣1)=5﹣t∴5﹣t=﹣t2+5t解得:t1=1,t2=5(0<t<4,舍去)如图,记AM与y轴交点为F,过点D作DG⊥y轴于点G③若MP=DP,则∠PMD=∠PDM∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF∴CF=CD∵A(﹣1,0),M(4﹣t,﹣t2+5t),设直线AM解析式为y=ax+m ∴解得:∴直线AM:y=tx+t∴F(0,t)∴CF=OC﹣OF=4﹣t∵tx+t=﹣x+4,解得:x=∴DG=x D=∵∠CGD=90°,∠DCG=45°∴CD=DG=∴4﹣t=解得:t=﹣1综上所述,当△PDM是等腰三角形时,t=1或t=﹣1.2.解:(1)把A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得,解得,所以抛物线的函数表达式为y=﹣x2﹣2x+3.(2)如解(2)图1,过P点作PQ平行y轴,交AC于Q点,∵A(﹣3,0),C(0,3),∴直线AC解析式为y=x+3,设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3.),则Q点坐标为(x,x+3),∴PQ=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.∴S△P AC=,∴,解得:x1=﹣1,x2=﹣2.当x=﹣1时,P点坐标为(﹣1,4),当x=﹣2时,P点坐标为(﹣2,3),综上所述:若△PAC面积为3,点P的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),(3)如解(3)图1,过D点作DF垂直x轴于F点,过A点作AE垂直BC于E点,∵D为抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点,∴D点坐标为(﹣1,4),又∵A(﹣3,0),∴直线AD为y=2x+6,AF=2,DF=4,tan∠DAB=2,∵B(1,0),C(0,3)∴tan∠ABC=3,BC=,sin∠ABC=,直线BC解析式为y=﹣3x+3.∵AB=4,∴AE=AB?sin∠ABC==,BE=,∴CE=,∴tan∠ACB=,∴tan∠ACB=tan∠PAB=2,∴∠ACB=∠PAB,∴使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似,则有两种情况,如解(3)图2Ⅰ.当∠AOM=∠CAB=45°时,△ABC∽△OMA,即OM为y=﹣x,设OM与AD的交点M(x,y)依题意得:,解得,即M点为(﹣2,2).Ⅱ.若∠AOM=∠CBA,即OM∥BC,∵直线BC解析式为y=﹣3x+3.∴直线OM为y=﹣3x,设直线OM与AD的交点M(x,y).则依题意得:,解得,即M点为(,),综上所述:存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为(﹣2,2)或(,),3.解:(1)直线y=﹣5x+5,x=0时,y=5∴C(0,5)y=﹣5x+5=0时,解得:x=1∴A(1,0)∵抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点∴解得:∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5当y=x2﹣6x+5=0时,解得:x1=1,x2=5∴B(5,0)(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于点H∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)∴AB=5﹣1=4,OC=5∴S△ABC=AB?OC=×4×5=10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M(m,m2﹣6m+5)(1<m<5)∴MH=|m2﹣6m+5|=﹣m2+6m﹣5∴S△ABM=AB?MH=×4(﹣m2+6m﹣5)=﹣2m2+12m﹣10=﹣2(m﹣3)2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[﹣2(m﹣3)2+8]=﹣2(m﹣3)2+18∴当m=3,即M(3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD∴BD=5﹣4=1∵AB=4,BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为4.解:(1)当n=5时,y=,①将P(4,b)代入y=﹣x 2+x+,∴b=;②当x≥5时,当x=5时有最大值为5;当x<5时,当x=时有最大值为;∴函数的最大值为;(2)将点(4,2)代入y=﹣x2+nx+n中,∴n=,∴<n<4时,图象与线段AB只有一个交点;将点(2,2)代入y=﹣x2+nx+n中,∴n=2,将点(2,2)代入y=﹣x2+x+中,∴n=,∴2≤n<时图象与线段AB只有一个交点;综上所述:<n<4,2≤n<时,图象与线段AB只有一个交点;(3)n>0时,n>,函数图象如图实线所示.①如图1中,当点A的纵坐标为4时,则有﹣++=+=4时,解得n=4或n=﹣8(舍去),观察图象可知:n=4时,满足条件的点恰好有四个,分别是A,B,C,D.②如图2中,观察图象可知,当n≥8时,恰好有四个点满足条件,分别是图中A,B,C,D.n<0时,n<,函数图象如图中实线.③如图3中,当点A的纵坐标为4时,恰好有四个点满足条件,分别是图中A,B,C,D.则有:﹣++n=4时,解得n=﹣2﹣2或n=﹣2+2(舍弃)④如图4中,当n≤﹣8时,观察图象可知,恰好有四个点满足条件,分别是图中A,B,C,D.综上所述,函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时,n≤﹣8或n=﹣2﹣2或n=4或n≥8.5.解:(1)∵a=1>0,故该抛物线开口向上,顶点A的坐标为(1,﹣1);(2)①设抛物线“不动点”坐标为(t,t),则t=t2﹣2t,解得:t=0或3,故“不动点”坐标为(0,0)或(3,3);∴新抛物线的对称轴为:x=m,与x轴的交点C(m,0),②∵新抛物线顶点B为“不动点”,则设点B(m,m),∵四边形OABC是梯形,∴直线x=m在y轴左侧,∵BC与OA不平行,∴OC∥AB,又∵点A(1,﹣1),点B(m,m),∴m=﹣1,故新抛物线是由抛物线y=x2﹣2x向左平移2个单位得到的,∴新抛物线的表达式为:y=(x+1)2﹣1.6.解:(1)令:y=x2﹣2x=0,则x=0或2,即点B(2,0),∵C1、C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,则a=﹣1,则点A(4,0),将点A的坐标代入C2的表达式得:0=﹣16+4b,解得:b=4,故抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+4x;(2)联立C1、C2表达式并解得:x=0或3,故点C(3,3),作点C关于C2对称轴的对称点C′(1,3),连接AC′交函数C2的对称轴与点P,此时PA+PC的值最小为:线段AC′的长度=3,此时点P(2,2);(3)直线OC的表达式为:y=x,过点M作y轴的平行线交OC于点H,设点M(x,﹣x2+4x),则点H(x,x),则S△MOC=MH×x C=(﹣x2+4x﹣x)=﹣x2+x,∵﹣<0,故x=,S△MOC最大值为.7.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点B(﹣3,0),C(1,0)∴解得:∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F∵x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3∴A(0,3)∴直线AB解析式为y=x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0)∴F(t,t+3)∴PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t∴S△P AB=S△P AF+S△PBF=PF?OH+PF?BH=PF?OB=(﹣t2﹣3t)=﹣(t+)2+∴点P运动到坐标为(﹣,),△PAB面积最大(3)存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则D(t,t+3)∴PD=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4∴对称轴为直线x=﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴y E=y P,即点E、P关于对称轴对称∴=﹣1∴x E=﹣2﹣x P=﹣2﹣t∴PE=|x E﹣x P|=|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°∴PD=PE∴﹣t2﹣3t=﹣2﹣2t①当﹣3<t≤﹣1时,PE=﹣2﹣2t解得:t1=1(舍去),t2=﹣2∴P(﹣2,3)∴﹣t2﹣3t=2+2t②当﹣1<t<0时,PE=2+2t解得:t1=,t2=(舍去)∴P(,)综上所述,点P坐标为(﹣2,3)或(,)时使△PDE为等腰直角三角形.8.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,∴,∴,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;(2)如图1,过点P作直线l,使l∥EF,过点O作OP'⊥l,当直线l与抛物线只有一个交点时,PH最大,等于OP',∵直线EF的解析式为y=﹣x,设直线l的解析式为y=﹣x+m①,∵抛物线的解析式为y=x2+x﹣2②,联立①②化简得,x2+x﹣2﹣m=0,∴△=﹣4××(﹣2﹣m)=0,∴m=﹣,∴直线l的解析式为y=﹣x﹣,令y=0,则x=﹣,∴M(﹣,0),∴OM=,在Rt△OP'M中,OP'==,∴PH最大=.(3)①当∠CMB=90°时,如图2,∴BM是⊙O的切线,∵⊙C半径为1,B(1,0),∴BM2∥y轴,∴∠CBM2=∠BCO,M2(1,﹣2),∴BM2=2,∵BM1与BM2是⊙C的切线,∴BM1=BM2=2,∠CBM1=∠BCM2,∴∠CBM1=∠BCO,∴BD=CD,在Rt△BOD中,OD2+OB2=BD2,∴OD2+1=(2﹣OD)2,∴OD=,∴BD=,∴DM1=过点M1作M1Q⊥y轴,∴M1Q∥x轴,∴△BOD∽△M1QD,∴,∴,∴M1Q=,DQ=,∴OQ=+=,∴M1(﹣,﹣),∴∠OCM3+∠OCB=90°,②当∠BCM=90°时,如图3,∵∠OCB+∠OBC=90°,∴∠OCM3=∠OBC,在Rt△BOC中,OB=1,OC=2,∴tan∠OBC==2,∴tan∠OCM3=2,过点M3作M3H⊥y轴于H,在Rt△CHM3中,CM3=1,设CH=m,则M3H=2m,根据勾股定理得,m2+(2m)2=1,∴m=,∴M3H=2m=,OH=OC﹣CH=2﹣,∴M3(﹣,﹣2),而点M4与M3关于点C对称,∴M4(,﹣﹣2),即:满足条件的点M的坐标为(﹣,﹣)或(1,﹣2)或(﹣,﹣2)或(,﹣﹣2).9.解:(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3),将点D坐标代入上式并解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①;(2)设直线PD与y轴交于点G,设点P(m,m2﹣2m﹣3),将点P、D的坐标代入一次函数表达式:y=sx+t并解得:直线PD的表达式为:y=mx﹣3﹣2m,则OG=3+2m,S△POD=×OG(x D﹣x P)=(3+2m)(2﹣m)=﹣m2+m+3,∵﹣1<0,故S△POD有最大值,当m=时,其最大值为;(3)∵OB=OC=3,∴∠OCB=∠OBC=45°,∵∠ABC=∠OBE,故△OBE与△ABC相似时,分为两种情况:①当∠ACB=∠BOQ时,AB=4,BC=3,AC=,过点A作AH⊥BC于点H,S△ABC=×AH×BC=AB×OC,解得:AH=2,则sin∠ACB==,则tan∠ACB=2,则直线OQ的表达式为:y=﹣2x…②,联立①②并解得:x=,故点Q1(,﹣2),Q2(﹣,2)②∠BAC=∠BOQ时,tan∠BAC==3=tan∠BOQ,则点Q(n,3n),则直线OQ的表达式为:y=﹣3x…③,联立①③并解得:x=,故点Q3(,),Q4(,);综上,当△OBE与△ABC相似时,Q1(,﹣2),Q2(﹣,2),Q3(,),Q4(,).10.解:(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3,则点A(1,4);(2)将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AC的表达式为:y=﹣2x+6,点P(1,4﹣t),则点D(,4﹣t),设点Q(,4﹣),S△ACQ=×DQ×BC=﹣t2+t,∵﹣<0,故S△ACQ有最大值,当t=2时,其最大值为1;(3)设点P(1,m),点M(x,y),当点M在x轴下方时,①当EC是菱形一条边时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m﹣3=y,而MP=EP得:1+(m﹣3)2=(x﹣1)2+(y﹣m)2,解得:y=m﹣3=,故点M(4,);当点M在x轴上方时,同理可得:点M(﹣2,3+);则EC中点即为PM中点,②当EC是菱形一对角线时,则x+1=3,y+m=3,而PE=PC,即1+(m﹣3)2=4+(m﹣2)2,解得:m=1,故x=2,y=3﹣m=3﹣1=2,故点M(2,2);综上,点M(4,)或(﹣2,3+)或M(2,2).11.解:(1)∵y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),∴﹣1=a×22,即a=,∴y=﹣x2;(2)设二次函数的图象上的点P(x1,y1),则M(x1,1),y1=﹣x12,即x12=﹣4y1,PM=|1﹣y1|,又PF===|y1﹣1|=PM,即PF=PM,∴点P在线段MF的中垂线上;(3)连接RF,∵R在线段MF的中垂线上,∴MR=FR,又∵PM=PF,PR=PR,∴△PMR≌△PFR(SAS),∴∠PFR=∠PMR=90°,∴RF⊥PF,连接RQ,又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中,∵Q在y=﹣x2的图象上,由(2)结论知∴QF=QN,∵RQ=RQ,∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ(HL),即RN=FR,即MR=FR=RN,∴=1;(4)在△PQR中,由(3)知PR平分∠MRF,QR平分∠FRN,∴∠PRQ=(∠MRF+∠FRN)=90°,∴点R在以线段PQ为直径的圆上.12.解:(1)将点D、E的坐标代入函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2,同理可得直线DE的表达式为:y=x﹣1…①;(2)如图1,连接BF,过点P作PH∥y轴交BF于点H,将点FB代入一次函数表达式,同理可得直线BF的表达式为:y=﹣x+1,设点P(x,﹣x2+x+2),则点H(x,﹣x+1),S四边形OBPF=S△OBF+S△PFB=×4×1+×PH×BO=2+2(﹣x2+x+2+x﹣1)=7,解得:x=2或,故点P(2,3)或(,);(3)当点P在抛物线对称轴的右侧时,点P(2,3),过点M作A′M∥AN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,∵MN=2,相当于向上、向右分别平移2个单位,故点A′(1,2),A′A″⊥DE,则直线A′A″过点A′,则其表达式为:y=﹣x+3…②,联立①②得x=2,则A′A″中点坐标为(2,1),由中点坐标公式得:点A″(3,0),同理可得:直线A″P的表达式为:y=﹣3x+9…③,联立①③并解得:x=,即点M(,),点M沿ED向下平移2个单位得:N(,﹣).13.解:(1)抛物线的对称轴是x=2,且过点A(﹣1,0)点,∴,解得:,∴抛物线的函数表达式为:y=x2﹣4x﹣5;(2)y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,则x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为:y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5,(﹣1<x<5),其顶点为(2,9).∵新图象与直线y=t恒有四个交点,∴0<t<9,设E(x1,y1),F(x2,y2).由解得:x=2,∵以EF为直径的圆过点Q(2,1),∴EF=2|t﹣1|=x2﹣x1,即2=2|t﹣1|,解得t=,又∵0<t<9,∴t的值为;(3)①当m、n在函数对称轴左侧时,m≤n≤2,由题意得:x=m时,y≤7,x=n时,y≥m,即:,解得:﹣2≤x;②当m、n在对称轴两侧时,x=2时,y的最小值为﹣9,不合题意;③当m、n在对称轴右侧时,同理可得:≤x≤6;故x的取值范围是:﹣2≤x或≤x≤6.14.解:(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,顶点(1,﹣4a)围绕点P(m,0)旋转180°的对称点为(2m﹣1,4a),C2:y=﹣a(x﹣2m+1)2+4a,函数的对称轴为:x=2m﹣1,t=2m﹣1,故答案为:2m﹣1;(2)a=﹣1时,C1:y=(x﹣1)2+4,①当t<1时,x=时,有最小值y2=,x=t时,有最大值y1=﹣(t﹣1)2+4,则y1﹣y2=﹣(t﹣1)2+4﹣=1,无解;②1≤t时,x=1时,有最大值y1=4,x=时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,y1﹣y2=≠1(舍去);③当t时,x=1时,有最大值y1=4,x=t时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,y1﹣y2=(t﹣1)2=1,解得:t=0或2(舍去0),故C2:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x;(3)m=0,C2:y=﹣a(x+1)2+4a,点A、B、D、A′、D′的坐标分别为(1,0)、(﹣3,0)、(0,3a)、(0,1)、(﹣3a,0),当a>0时,a越大,则OD越大,则点D′越靠左,当C2过点A′时,y=﹣a(0+1)2+4a=1,解得:a=,当C2过点D′时,同理可得:a=1,故:0<a或a≥1;当a<0时,当C2过点D′时,﹣3a=1,解得:a=﹣,故:a≤﹣;综上,故:0<a或a≥1或a≤﹣.15.解:(1)在y=﹣x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,∴A(4,0),B(0,3),将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物线y=﹣x2+bx+c中,得:,解得:,∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+3.(2)存在.如图1,过点B作BH⊥CD于H,设C(t,0),则D(t,),E(t,),H(t,3);∴EC=,AC=4﹣t,BH=t,DH=﹣t2+t,DE=﹣t2+4t∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①当△BDE∽△ACE时,∠BDE=∠ACE=90°,∴=,即:BD?CE=AC?DE∴t()=(4﹣t)×(﹣t2+4t),解得:t1=0(舍去),t2=4(舍去),t3=,∴D(,3)∵BH⊥CD②当△DBE∽△ACE时,∠BDE=∠CAE∴∠BHD=90°,∴=tan∠BDE=tan∠CAE=,即:BH?AC=CE?DH∴t(4﹣t)=()(﹣t2+t),解得:t1=0(舍),t2=4(舍),t3=,∴D(,);综上所述,点D的坐标为(,3)或(,);(3)如图3,∵四边形DEGF是平行四边形∴DE∥FG,DE=FG设D(m,),E(m,),F(n,),G(n,),则:DE=﹣m2+4m,FG=﹣n2+4n,∴﹣m2+4m=﹣n2+4n,即:(m﹣n)(m+n﹣4)=0,∵m﹣n≠0∴m+n﹣4=0,即:m+n=4过点G作GK⊥CD于K,则GK∥AC∴∠EGK=∠BAO∴=cos∠EGK=cos∠BAO=,即:GK?AB=AO?EG∴5(n﹣m)=4EG,即:EG=(n﹣m)∴DEGF周长=2(DE+EG)=2[(﹣m2+4m)+(n﹣m)]=﹣2+∵﹣2<0,∴当m=时,∴?DEGF周长最大值=,∴G(,).16.解:(1)将A(﹣1,0),B(2,0)分别代入抛物线y=ax2+bx﹣1中,得,解得:∴该抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣1.(2)在y=x2﹣x﹣1中,令x=0,y=﹣1,∴C(0,﹣1)∵点C关于x轴的对称点为C1,∴C1(0,1),设直线C1B解析式为y=kx+b,将B(2,0),C1(0,1)分别代入得,解得,∴直线C1B解析式为y=﹣x+1,设M(t,+1),则E(t,0),F(0,+1)∴S矩形MFOE=OE×OF=t(﹣t+1)=﹣(t﹣1)2+,∵﹣<0,∴当t=1时,S矩形MFOE最大值=,此时,M(1,);即点M为线段C1B中点时,S矩形MFOE最大.(3)由题意,C(0,﹣1),C1(0,1),以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,分以下两种情况:①C 1C为边,则C1C∥PQ,C1C=PQ,设P(m,m+1),Q(m,﹣m﹣1),∴|(﹣m﹣1)﹣(m+1)|=2,解得:m1=4,m2=﹣2,m3=2,m4=0(舍),P1(4,3),Q1(4,5);P2(﹣2,0),Q2(﹣2,2);P3(2,2),Q3(2,0)②C1C为对角线,∵C1C与PQ互相平分,C1C的中点为(0,0),∴PQ的中点为(0,0),设P(m,m+1),则Q(﹣m,+m﹣1)∴(m+1)+(+m﹣1)=0,解得:m1=0(舍去),m2=﹣2,∴P4(﹣2,0),Q4(2,0);综上所述,点P和点Q的坐标为:P1(4,3),Q1(4,5)或P2(﹣2,0),Q2(﹣2,2)或P3(2,2),Q3(2,0)或P4(﹣2,0),Q4(2,0).17.解:(1)y1=3x2﹣6x﹣1的顶点为(1,﹣4),∵抛物线C1:y1=3x2﹣6x﹣1与C2:y2=x2﹣mx+n的顶点相同∴m=2,n=﹣3,∴y2=x2﹣2x﹣3;(2)作AP⊥x轴,设A(a,a2﹣2a﹣3),∵A在第四象限,∴0<a<3,∴AP=﹣a2+2a+3,PO=a,∴AP+OP=﹣a2+3a+3=﹣∵0<a<3,∴AP+OP的最大值为;(3)假设C2的对称轴上存在点Q,过点B'作B'D⊥l于点D,∴∠B'DQ=90°,∵B(﹣1,﹣4),C(1,﹣4),抛物线的对称轴为x=1,①当点Q在顶点C的下方时,∴BC⊥l,BC=2,∠BCQ=90°,∴△BCQ≌△QDB'(AAS)∴B'D=CQ,QD=BC,设点Q(1,b),∴B'D=CQ=﹣4﹣b,QD=BC=2,可知B'(﹣3﹣b,2+b),∴(﹣3﹣b)2﹣2(﹣3﹣b)﹣3=2+b,∴b2+7b+10=0,∴b=﹣2或b=﹣5,∵b<﹣4,∴Q(1,﹣5),综上所述:Q(1,﹣5)或Q(1,﹣2);②当点Q在顶点C的上方时,同理可得Q(1,﹣2);18.解:(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3,令y=0,则x=﹣1或3,故点A(﹣1,0);(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C′,连接CD′交x轴于点E,则此时EC+ED 为最小,函数顶点D坐标为(1,4),点C′(0,﹣3),将CD的坐标代入一次函数表达式并解得:直线CD的表达式为:y=7x﹣3,当y=0时,x=,故点E(,0),则EC+ED的最小值为DC′=;(3)①当点P在x轴上方时,如下图2,∵OB=OC=3,则∠OCB=45°=∠APB,过点B作BH⊥AP于点H,设PH=BH=m,则PB=PA=m,由勾股定理得:AB2=AH2+BH2,16=m2+(m﹣m)2,解得:m2=8+4,则PB2=2m2=16+8则y P==2+2;则y P=﹣(2);②当点P在x轴下方时,故点P的坐标为(1,2)或(1,﹣2﹣2).19.解:(1)二次函数表达式为:y=a(x﹣1)2+9,将点A的坐标代入上式并解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+8…①,则点B(3,5),将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AB的表达式为:y=2x﹣1;(2)存在,理由:二次函数对称轴为:x=1,则点C(1,1),过点D作y轴的平行线交AB于点H,设点D(x,﹣x2+2x+8),点H(x,2x﹣1),∵S△DAC=2S△DCM,则S△DAC=DH(x C﹣x A)=(﹣x2+2x+8﹣2x+1)(1+3)=(9﹣1)(1﹣x)×2,解得:x=﹣1或5(舍去5),故点D(﹣1,5);(3)设点Q(m,0)、点P(s,t),t=﹣s2+2s+8,点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A,①当AM是平行四边形的一条边时,同理,点Q(m,0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m﹣4,﹣16),即为点P,即:m﹣4=s,﹣6=t,而t=﹣s2+2s+8,解得:s=6或﹣4,故点P(6,﹣16)或(﹣4,﹣16);由中点公式得:m+s=﹣2,t=2,而t=﹣s2+2s+8,②当AM是平行四边形的对角线时,解得:s=1,故点P(1,2)或(1﹣,2);综上,点P(6,﹣16)或(﹣4,﹣16)或(1,2)或(1﹣,2).20.解:(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5)=﹣x2+x+;(2)抛物线的对称轴为x=2,则点C(2,2),设点P(2,m),将点P、B的坐标代入一次函数表达式:y=sx+t并解得:函数PB的表达式为:y=﹣mx+…①,∵CE⊥PE,故直线CE表达式中的k值为,将点C的坐标代入一次函数表达式,同理可得直线CE的表达式为:y=…②,联立①②并解得:x=2﹣,故点F(2﹣,0),S△PCF=×PC×DF=(|2﹣m|)(|2﹣﹣2|)=5,解得:m=5或﹣3,故点P(2,﹣3)或(2,5);(3)由(2)确定的点F的坐标得:CP2=(2﹣m)2,CF2=()2+4,PF2=()2+m2,2=()2+4,解得:m=0或(0舍去),①当CP=CF时,即:(2﹣m)②当CP=PF时,同理可得:m=,③当CF=PF时,同理可得:m=±2(舍去2),故点P(2,)或(2,﹣2)或(2,)或(2,)21.解:(1)将点C(0,﹣3)代入y=(x﹣1)2+k,得k=﹣4,∴y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3;(2)令y=0,x=﹣1或x=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),∴AB=4;抛物线顶点为(1,﹣4),当P位于抛物线顶点时,△ABP的面积有最大值,S==8;(3)①当0<m≤1时,h=﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+2m;当1<m≤2时,h=﹣1﹣(﹣4)=1;当m>2时,h=m2﹣2m﹣3﹣(﹣4)=m2﹣2m+1;若﹣m2+2m=9,此时△<0,m无解;②当h=9时若m2﹣2m+1=9,则m=4,∴P(4,5),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴△BCP的面积=8×4﹣5×1﹣(4+1)×3=6;22.解:(1)将点A(﹣2,0)代入解析式,得4a﹣2b+3=0,∵x=﹣=,∴a=﹣,b=;∴y=﹣x2+x+3;(2)设点Q横坐标x1,点P的横坐标x2,则有x1<x2,把n=﹣5代入y=﹣mx﹣n,∴y=﹣mx+5,联立y=﹣mx+5,y=﹣x2+x+3得:﹣mx+5=﹣x2+x+3,∴x2﹣(2m+1)x+4=0,∴x1+x2=2m+1,x1x2=4,∵△CPQ的面积为3;∴S△CPQ=S△CHP﹣S△CHQ,即HC(x2﹣x1)=3,∴x2﹣x1=3,∴﹣4x1x2=9,∴(2m+1)2=25,∴m=2或m=﹣3,∵m>0,∴m=2;(3)当n=﹣3m时,PQ解析式为y=﹣mx+3m,∴H(0,3m),∵y=﹣mx+3m与y=﹣x2+x+3相交于点P与Q,∴﹣mx+3m=﹣x2+x+3,∴x=3或x=2m﹣2,当2m﹣2<3时,有0<m<,∵点P在点Q的右边,∴P(3,0),Q(2m﹣2,﹣2m2+5m),∴AQ的直线解析式为y=x+5﹣2m,∴K(0,5﹣2m),∴HK=|5m﹣5|=5|m﹣1|,①当0<m<1时,如图①,HK=5﹣5m,∴S△PQK=S△PHK+S△QHK=HK(x P﹣x Q)=(5﹣5m)(5﹣2m)=5m2﹣m+,②当1<m<时,如图②,HK=5m﹣5,∴S△PQK=﹣5m2+m﹣,③当2m﹣2>3时,如图③,有m>,∴P(2m﹣2,﹣2m2+5m),Q(3,0),K(0,0),∴S△PQK=×KQ|y P|=(2m2﹣5m)=3m2﹣m,综上所述,S=;23.解:(1)∵OA=2,OC=6∴A(﹣2,0),C(0,﹣6)∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C ∴解得:∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣6(2)∵当y=0时,x2﹣x﹣6=0,解得:x1=﹣2,x2=3∴B(3,0),抛物线对称轴为直线x=∵点D在直线x=上,点A、B关于直线x=对称∴x D=,AD=BD∴当点B、D、C在同一直线上时,C△ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小设直线BC解析式为y=kx﹣6∴3k﹣6=0,解得:k=2∴直线BC:y=2x﹣6∴y D=2×﹣6=﹣5∴D(,﹣5)故答案为:(,﹣5)(3)过点E作EG⊥x轴于点G,交直线BC与点F设E(t,t2﹣t﹣6)(0<t<3),则F(t,2t﹣6)∴EF=2t﹣6﹣(t2﹣t﹣6)=﹣t2+3t∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF?BG+EF?OG=EF(BG+OG)=EF?OB=×3(﹣t2+3t)=﹣(t﹣)2+∴当t=时,△BCE面积最大∴y E=()2﹣﹣6=﹣∴点E坐标为(,﹣)时,△BCE面积最大,最大值为.(4)存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形.∵A(﹣2,0),C(0,﹣6)∴AC=则MN∥AC且,MN=AC=2①若AC为菱形的边长,如图3,∴N1(﹣2,2),N2(﹣2,﹣2),N3(2,0)②若AC为菱形的对角线,如图4,则AN 4∥CM4,AN4=CN4设N4(﹣2,n)∴﹣n=解得:n=﹣∴N4(﹣2,﹣)综上所述,点N坐标为(﹣2,2),(﹣2,﹣2),(2,0),(﹣2,﹣).24.解:(1)y=﹣x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=6,故点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3),抛物线的对称轴为x=1,则点A(﹣4,0),则抛物线的表达式为:y=a(x﹣6)(x+4)=a(x2﹣2x﹣24),即﹣24a=3,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+3…①;(2)过点P作y轴的平行线交BC于点G,作PH⊥BC于点H,则∠HPG=∠CBA=α,tan∠CAB===tanα,则cosα=,设点P(x,﹣x2+x+3),则点G(x,﹣x+3),则PH=PGcosα=(﹣x2+x+3+x﹣3)=﹣x2+x,∵<0,故PH有最小值,此时x=3,则点P(3,);(3)①当点Q在x轴上方时,则点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC全等,此时点Q与点C关于函数对称轴对称,则点Q(2,3);②∠BAQ=∠CAB,时,△QAB∽△BAC,。

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