常用经济管理数学模型
应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。
本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到运用数学模型为现实生活服务的目的。
一、优秀研究成果评选的公平性模型 1. 问题的提出
设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出
()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？
2.模型的构成与求解
方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。
分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。
因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。
方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.
分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。
设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为
1()x
r x N C
=- （1）
上述结果似乎可以接受。
因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。
参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为
2()x C
r x N
+= (2)
通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。
因为当x N C <-时，
恒有
1()
r x<
2()
r x.
综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对
1()
r x和
2()
r x的折衷方案，即度量得票多少的函数()
y x应满足以下三个条件：
（1）()
y x是x的单调递增函数;
（2）
1()
r x()
y x
<<
2()
r x，0,0;
x N C C
<<->
（3）(0)0,() 1.
y y N C
=-=
由上述三个条件还不能唯一确定函数()
y x，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()
y x。
例如定义
()
y x==
作为度量函数。
实践与思考你能否构造一个满足上面三个条件的函数()
y x？
二、公平的席位分配模型
1.问题的提出
某校有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现在要选出20名学生代表组成学生会，公平的办法是按学生人数的比例分配席位，即甲乙丙三系分别10、6、4个席位。
如果三个系的人数分别改成103人、63人和34人，那么怎样分配各系的席位呢？
2.模型的构建与求解
过去的惯例是这样分配的：先按比例分配，甲、乙、丙系分别应得10.3、6.3、和3.4席，舍去小数部分后分别得10、6、3席，剩下的1席分给“损失”最大的丙系，于是三个系仍分别占10、6、4席。
假定学生会的席位增到21席，按照上述方法重新分配席位，结果如表10.1的第6、7列，三个系分配占有11、7、3席。
这个结果对丙系显然不公平，因为总席位增加而丙系的席位反而减少了。
结果大家对这种分法产生怀疑，要求重新
讨论分配方法。
表10.1按惯例的席位分配
系别
人数
比例
20席的分配
21席的分配 按比例
实际分配 按比例 实际分配 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和
200
100.0
20.0
20
21.000
21
什么是公平的分法？“绝对公平”的分法应是每个席位代表的学生数相同，这在一般情况下是做不到的。
所以，希望每个席位代表的学生数尽量接近。
假定共有m 个系，各系人数分别为12,,
,m n n n ，全校总人数为
12m n n n n =++
+。
又假设学生会共设N 个席位，于是平均每个席位代表学生数
为
n
a N
=， 设各系分配的席位为12,,
,m N N N ，则各系每席实际代表的人数为
()1,2,,i
i i
n a i m N =
= .
为了衡量一种分配方法的“公平”程度，我们可以提出不同的标准，也就是用各种不同的目标函数来衡量“公平度”，例如：
标准1 要求目标函数max i Z a =尽可能小。
标准2 要求目标函数1m
i i Z a a ==-∑最小。
标准3 要求目标函数min i Z a =最大。
这里我们只研究标准1，我们假定满足标准1的分配方法为为最优分配。
请
看下面的例子。
例1 设某校有五个系，一、二、三、四、五系的学生分别为1105、648、362、248、137人，共有2500人，现要选出25名代表组成学生会、应如何分配？
解 如按比例分配席位，每100人分配1席，其结果如表10.2。
表10.2按标准1的席位分配
系别
人数
比例分配席位
判别数 实际分配席
位
一 1105 11.05 1.004 10 二 648 6.48 1.08 6 三 362 3.62 1.21 4 四 248 2.48 1.24 3 五 137 1.37 1.37 2 总和 2500
25
25
如按取整分配，各系应分配11、6、3、2、1席，哪个系最吃亏呢？就是说，哪个系每席代表的学生数最多呢？
按比例分配，各系应分配席位数为 ()1,2,,5i i
i n Nn N i a n
=== 现取整数，第i 系
分到[]i N 席，每席代表学生 [][]
i i i i i n N
a a N N =
=⋅ 因为a 与系别无关，所以[]/i i N N 较大的系比较吃亏（这就是按惯例分配的问题所在，不应比较“尾数”大小，应比较“尾数”占总数比例）。
我们称[]/i i N N 为判别数，因为判别数越大的系越吃亏，所以首先应给五系增加1席。
现在我们证明：最优分配方案必定分给五系2席。
若五系分1席，则
5 1.37Z a ≥=，显然不是最优。
若五系分3席（或更多），则把五系多分的席位分
给最吃亏的系，又可使目标函数Z 减小，因而这种方案也不是最优。
同理，四系应分3席。
余下20席是否应该按11、6、3分配呢？如你这样想就错了，按同样的原理分配，列表如下：
判别数
系别人数按比例分配
席位
一1105 10.45 1.045
二648 6.13 1.02
三362 3.42 1.14
总和2115 20
因此三系应分4席，同理一、二系分别分10、6席，这样五个系各得10、6、4、3、2席。
这时Z=1.105。
由此看来，过去的分法是大系占了便宜。
由上面算法可以看出，最优分配方案可能不是唯一的。
这时我们采取照顾小系的方法，即优先分配给人数少的系。
若两系人数相同，可规定分给序号在前的系，这就能保证求出唯一的方案。
实践与思考
1.某大学共有2000名学生，其中文科类1030名、理工类340名、工科类630名。
该校学生会有21名代表席位，问该如何公平地分配这些席位？
，设6年中利率不变，他应采用何种方案存款使获利最大？
2.有两个投资项目可供选择，第一个项目投资100万元，每年末收益14万元，可收益15年，第二个项目投资120万元，每年末收益16万元，可收益18年，哪一项目对投资者更有利？
3.某厂2005年生产产值是1995年的8倍（翻3番），那么从1995年到2005年产值的年增长率是多少？若按这样的增长率发展，2015年的产值是1995年的几倍？
款总额.由年金现值公式
()11n
A Q R R -⎡⎤=-+⎣
⎦
可得
()
()120
200.0036
0.205546.1 1.0036
11n
QR A R --⨯=
=
≈--+万元 即每月应还款2055.46元。
实践与思考
1.有人购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款15万元，12年还清（月利率4.23‰），商业贷款10万元，分12年还清（月利率5.31‰），若均采用等额本利还款方式，每月还款额为多少？。