45分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第16讲～第22讲，以第20讲～第22讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·河北五校联盟调研] 已知sin(α＋45°)＝45，45°<α<135°，则sin α＝( )A.25 B ．－25C.7210 D ．－72102．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.5π63．[2012·银川一中月考] 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是( )A ．18B ．21C ．24D ．154．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D.3＋3945．[2012·粤西北九校联考] 如图G6－1，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m6．[2012·江西师大附中模拟] 下列函数中，周期为π，且在0，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π27．为了得到函数y ＝sin2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos x3的图象( )A ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移π3个单位B ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移2π3个单位C ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π个单位D ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π3个单位8．若存在常数m 使得3－sin70°m －cos 210°＝2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知tan α＝2，计算1cos2α＋tan2α的值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的值；(2)若cos A 2＝255，求sin C 的值．13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m⊥p ，C ＝π3，c ＝2，求△ABC 的面积．14．在锐角△ABC 中，A ，B ，C 三内角所对的边分别为a ，b ，c .设m ＝(cos A ，sin A )，n＝(cos A ，－sin A )，a ＝7，且m·n ＝－12.(1)b ＝3，求△ABC 的面积； (2)求b ＋c 的最大值．45分钟滚动基础训练卷(六)1．C [解析] 因为sin(α＋45°)＝45，45°<α<135°，所以cos(α＋45°)＝－35，则sin α＝sin α＋45°－π4＝sin α＋45°cos45°－cos α＋45°sin45°＝45×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＝7210，选C.2．A [解析] 由5cos(B ＋C )＋3＝0得5cos A ＝3，cos A ＝35，所以sin A ＝45.因为a >b ，所以A >B ，即B 为锐角．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝52×454＝12，所以B ＝π6，选A.3．D [解析] 不妨设三边长a ，b ，c 依次构成公差为2的等差数列，则角C 为最大角．所以由已知得sin C ＝32.所以cos C ＝－12C 为最大角，不可能cos C ＝12，否则C ＝60°，不符合题意．由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，及b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，解得a ＝3，b ＝5，c ＝7.所以周长为a ＋b ＋c ＝15.4．B [解析] 由余弦定理得7＝AB 2＋22－2×2AB ×cos60°，解得AB ＝3，故h ＝AB ×sin B ＝3×32＝332，故选B.5．A [解析] 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin30°＝ABsin45°，AB ＝50 2.6．A [解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，周期是π，又y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在0，π2上为减函数，所以选A.7．A [解析] y ＝cos x 3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 3，将函数y ＝cos x 3的图象横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，然后将函数y ＝sin2x ＋π4的图象向右平移π3个单位得y ＝sin2x －π6的图象．8．B [解析] 因为3－sin70°m －cos 210°＝3－sin70°m －1＋cos20°2＝2（3－sin70°）2m －1－cos20°＝2（3－cos20°）2m －1－cos20°＝2，所以2m －1－cos20°＝3－cos20°，即2m －1＝3，即m ＝2.9．－3 [解析] 1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α＋11－tan 2α＝－3. 10.π6 [解析] 由sin B ＋cos B ＝2得1＋2sin B cos B ＝2，即sin2B ＝1，因为0<B <π，所以B ＝π4.又因为a ＝2，b ＝2，所以在△ABC 中，由正弦定理得2sin A ＝2sinπ4，解得sin A ＝12.又a <b ，所以A <B ＝π4，所以A ＝π6.11．27 [解析] 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°， 由正弦定理，有AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)其中sin φ＝327，cos φ＝527，所以AB ＋2BC 的最大值为27.12．解：(1)由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴sin B ＝3cos B ，tan B ＝ 3.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35， ∵sin A >0，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A ＋π3＝12sin A ＋32cos A ＝4＋3310. 13．解：(1)证明：若m ∥n ，则a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可知m·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.14．解：(1)由m ·n ＝－12得cos 2A －sin 2A ＝－12，即cos2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，A ＝π3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝1或2. 当c ＝1时，cos B <0，∴c ＝1舍去，∴c ＝2，∴S ＝12b ·c ·sin A ＝12×3×2×sin π3＝332.(2)方法一：∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2－bc ＝7，(b ＋c )2＝3bc ＋7≤3b ＋c 22＋7，∴(b ＋c )2≤28，b ＋c ≤27，当且仅当b ＝c 时取等号，∴(b ＋c )max ＝27.方法二：由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝7sinπ3＝2213.又B ＋C ＝π－A ＝2π3，∴b ＋c ＝2213sin B ＋2213sin C＝2213sin B ＋2213sin 2π3－B ＝27sin B ＋π6， 当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，b ＋c 的最大值是27.。