实验3 最小二乘法的实现
实验报告
哈尔滨工业大学
航天学院控制科学与工程系
专业：
1.实验题目： 实验3最小二乘法的实现
2.实验目的
理解并掌握系统辨识中的最小二乘法原理。

3•实验主要原理
给定系统
y
(k)二-a i y (k -1)- a 2y (k - 2) -111 - a n y
(k - n)
b)u(k) bu(k-1) IH b n u(k -n)
(k)
( 1)
其中a i ，a2^l,a n
，0,0,鸟,|||,0为待辨识的未知参数， (k)是不相关随机
序列。

y 为系统的输出，u 为系统的输入。

分别测出n • N 个输出、n • N 输入 值 y(1),y(2), y(3)J||y(n N),u(1),u(2)川|u(n N)，则可写出 N 个方程，具体写 成矩阵形式，有
■aj
(2)
力」
则式(2)可写为
「y(n+1) 1 + + +
飞(n+1) 1
『5+2) 亠 , — a n —+2)
+
+
t o
+ + +
4 R ?(n + N)_
y 二 --y(n)
-y( n+1)
+ +
III III -y(1) -y(2) ■ u( n + 1) u(n +2) +
III
HI
+
u(1)1
u(2)
+ y(n + N — 1)
III
I-
-y(N)
■1
u( n + N) +
HI
r
u(N)_
①=
一 -y( n)
-
y(1)
u( n+1)川 u(1) 1
-y( n+1)
出
-y(2) r u( n+2)川 ■ + u(2) —y(n + N —1)
I-
-y(N)
u(n +N)川
卜
u(N)_
(n 1)
+ 勺 n+2)
: 工(n + N)
一
』(n +N)
一
a n
b o ■y( n+1) 1 y(n +2)
(3)
式中：y 为N 维输出向量；■为N 维噪声向量；二为2n • 1维参数向量；” 为N (2n 1)测量矩阵。

为了尽量减小噪声•对二估值的影响，应取N .2n 1, 即方程数目大于未知数数目。

v 的最小二乘估计为
A
丁 _(「T ：G )」：.Jy
( 4)
4.实验对象或参数
对象的数学模型如下：
z(k) -1.5z(k -1) 0.7z(k-2) =u(k-1) 0.5u(k-2) v(k)
其中，v(k)是服从正态分布的白噪声N (0,1)。

输入信号采用4阶M 序列， 幅度为
1。

选择如下形式的辨识模型：
z(k) a 1
z(k -1) a 2
z(k -2) = b|U(k -1) pu(k - 2) v(k)
设输入信号的取值是从k =1到k =16的M 序列，则待辨识参数?LS 为
?LS =( H
T H L
)，H T Z L。

其中，被辨识参数？
LS
、观测矩阵Z L 、H L 的表达式为
统的参数进行辨识，并将辨识结果与实际参数进行对比
a 1 32 bi
_
z(3) z(4)
z(16) _
-z(2) -z(1) u(2) u(1)
_ -z(3) -z(2) u(3) u(2)
H
L -
…
…
z(19 —2(14 u(19 u(14
要求编制仿真程序, 获取系统输入输出数据,
并运用最小二乘法对这一系
开始
产生M用列
将忖序列赋给输入u
结朿
7 •实验结果及分析
(1)实验结果：
theta =
-1.5327
0.7990
1.0824
0.4269 ori =
-1.5000
0.7000
1.0000
0.5000 absError =
-0.0327
0.0990
0.0824
-0.0731
RelativeError =
2.1789
14.1491
8.2443
-14.6297
8.结论
（1）从得到的结果来看，由于每一次得到的噪声不一致，因此得到的辨识参数也不一
致，同时得到的辨识结果与实际参数偏差较大，基本原因是系统的白噪声误差太大，如果能把方差变小的话，辨识结果将会有很大的提升。

（2）同时从数学表达式可以知道，不同的初值状态对于系统参数辨识也有影响，因为
白噪声的初始值不定。

由于噪声的不规则性，因为输出结果无法在相同条件下比较。

只能做一个大致对比。

从实验结果可以看到，a1在-1.5上下波动，a2在0.7上下波动，b1在1上
下波动,b2在0.5上下波动，基本符合要求。

（3）通过数据结果可以看到，最小二乘法在系统参数辨识中是可以使用的，但是白噪
声对于结果的影响很大，本实验中属于白噪声过大，对于结果干扰很大，从趋势上看，结果具有有效性。

9.感想
本次实验验证了系统辨识中的最小二乘法原理，使用matlab验证原理正确性，有效性。

对最小二乘法有了更深的认识，同时对于系统参数估计方法有了更清晰的认识。

收获颇多。