三种常见的勾股数
我们知道，如果a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222c b a =+，反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种：
一、三数为连续整数的勾股数
（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？
设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得()()22211+=+-x x x ，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；
二、后两数为连续整数的勾股数
易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？
设后两数为连续整数的勾股数组为（x ，y ，y ＋１），则
()2
221+=+y y x ， 整理，得122
=-y x ，（＊）
显然，x 不能是偶数，否则，当x 为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x 不能是偶数，因此，
取x ＝２m ＋１，则y ＝m m 222+（m ∈Ｎ），
故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m ＋１，m m 222+，m m 222+＋１）； 分别取m ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…
三、前两数为连续整数的勾股数
你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导．
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），则 ()22
21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2
y ，化为 ()121222-=-+y x ，即
()y x 212++()y x 212-+＝－１，
又()()2121-+＝－１， ∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）
， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，
故前两数为连续整数的勾股数组是（4
1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．。