09年11月期末本科《线性代数》参考解答线性代数模拟题1一．单选题.1.下列（ ）是4级偶排列．（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 答：A2. 如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ ）． （A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-． 答：D3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ ）． 答：C（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+； （C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ．4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*kA 等于（ ）． 答：B （A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -．5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ ） 答：C（A ）s ααα,....,,21中有一零向量 (B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例(C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ ） 答：B(A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2121211ββααα++-+k k(C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++++k k7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（ ） 答：B(A)4/3 (B)3/4 (C)1/2 (D)1/48. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=( )(A)0 (B)24 (C)60 (D)120 答：B9. 若A 是（ ），则A 必有A A ='． 答：A（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ ）恒正确． 答：A（A ）()A A '='22； (B)()1122--=A A ； (C)[][]111)()(---''='A A ；(D)[][]'=''---111)()(A A ． 二．计算题或证明题1. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3241223k kA (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵？(2)求出P 及相应的对角矩阵。

解：（1）013241223≠=----=k kA ，k 为任何值时，都存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵；（2）令0=k ，则()()011324102232=-+=+--+--=-λλλλλλA I ，1,1321=-==λλλ当121-==λλ时，方程组()0=-X A I λ为⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+==+--022400000224321321321x x x x x x x x x ，其基础解系为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201,02121v v ；当13=λ时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--==+--04240202223212321x x x x x x x ，其基础解系为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003v ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120002011P ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ1000100012. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：d/λ是A *的一个特征值。

证明：设0λ为*A 的一个特征值，有01010*0=-=-=---A AAA A I A I λλλ，即λλ1=A，则λλλdA==0。

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 。

解：增广矩阵()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++-⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212100101010011111111222a a a a a a a a a a a (1)当2-=a 时，方程组无解；(2)当2,1-≠≠a a 时，有唯一解：211++-=a a x ，212+=a x ，()2123++=a a x ； (3)当1=a 时，有无穷多解，()Tx 0,0,10=，基础解系()T0,1,11-=α，()T 1,0,12-=α，全部解为02211x k k x ++=αα4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211,6512,14703,2130,421154321ααααα解：向量矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4400010110000001030106142425712110311231， 421,,ααα是一个极大无关组，且2133ααα+=，4215αααα+--= 5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：BA AB -是对称矩阵． 证：由条件A A T =，B B T -=，有()()()T T T T TTTB A A B BA AB BA AB -=-=-=()()BA AB B A A B -=---。

线性代数模拟题2一．单选题.1. 若)541()1(l k N -55443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为（ ）． 答：A（A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正； (C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正．2. 下列行列式（ ）的值必为零． 答：A(A) n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2个；(B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个； (C) n 阶行列式中，零元素个数多于n 个； (D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()22B A B A B A -=-+，则必有（ ）． 答：D（A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D)BA AB =． 4. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，则必有（ ）． 答：C（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）()111---+=+B A B A ．5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ ） 答：D （或A ）(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立(B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立(C) 对β的线性表示式不唯一， (D) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关 6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ ） 答：C(A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关，(B)系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －1)2＋I 必有特征值（ ） 答：B(A)λ2+1 (B)λ2-1 (C)2 (D)-28. 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00000123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ ） 答：A(A) 0 ; (B) －1 ; (C) 1 ; (D) 29. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ ）不是运算律． 答：D（A ）()A B C C B A ++=++)( ； （B ）BC AC C B A +=+)(； （C ）)()(BC A C AB =； （D ）B AC C AB )()(=．10. 下列矩阵（ ）不是初等矩阵． 答：B(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100； （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001； （C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001； （D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001．二．计算题或证明题1. 已知矩阵A ，求A 10。

其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101A解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==22222101AA A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10101022101A 2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A -1的一个特征值。

证：设0λ为1-A 的一个特征值，()I A A A I A A I 01010101λλλλ-=-=---- ，因为λ是A 的一个特征值，故λλ=01，因00≠λ，故0≠λ且101-==λλλ。

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++22332`1321321ax x x x ax x a x x ax 。

解：增广矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+-⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---20310111020012231111112a a a a a a a (1)当2+a=0 ，方程组无解；（2）02≠+a ，方程组有唯一解，231+-=a a x ，232+-=a x ，233+-=a x 。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001,1211,1111,43214321αααα 。

解：向量矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110010101012114021201121111321,,ααα为一个极大无关组，3214αααα--= 。

5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明AT T 1-是对称矩阵． 证：由条件知 A A T =，T T T =-1，()()AT T A A T AT T TT T T111---== 为对称矩阵．线性代数模拟题3一．单选题.1. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ ）．答：C交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．（A ）m 8； (B)m 3-； (C)m 8-； (D)m 41．2. 如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则（ ）． 答：D（A ）0=k 或1=k ； （B ）1=k 或2=k ； （C ）1-=k 或1=k ； （D ）1-=k 或3-=k ． 3.设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若I ABC =，则下列各式中总是成立的有（ ）．答：A（A ） I BCA =； (B) I ACB =； (C) I BAC =； (D) I CBA =． 4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且A 可逆，下式（ ）必成立． 答：A（A ）若AC AB =，则C B =； (B) 若CB AB =，则C A =； (C) 若BC AC =，则B A =； (D) 若O BC =，则O B =． 5. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ ） 答：D（A ）必定r<s ； (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关； (D)向量组中任意个1+r 向量必定线性相关6. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） 答：C(A) 133221,,αααααα+++ ; (B) 123211,,αααααα+++ ;(C) 133221,,αααααα--- ; (D) 1332213,2,αααααα+++ . 7. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（ ） 答：D(A)λI-A ＝λI-B (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量(C)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (D)kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）8. 当（ ）时，A 为正交矩阵，其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b a A 0。