1

3 1 s1 2

3 1 s1.5
3

103 1 s2 4
2 2 2 2
s2 5.53%
连续复利
如果利率一年内可以复利m次，则其复利因子为(1 +s/m)m
• 如果m趋于无穷大， lim (1 s )m es
m
75.83 75.83
债券价值 106.145
债券价格 = 100, 3年期; 平价息票利率 = 9.567%
T B(0,T)
sT
B(0,t)Ct B(0,3)$100
1 0.92593 8.00% 8.86
2 0.84175 9.00% 8.05
3 0.75833 9.66% 7.26 总价值: 24.17
P( y0 ) y
• 这种久期一般被成为修正久期; 而作为现金流到 期时间的现值加权平均的久期则被称为麦考里久期.
久期 (2)
D P / P0
y

(1
1
y)

M t 1
t

PV (CFt P0
)

修正久期
麦考里久期
实例 : 修正久期 1 (3.5) 3.18
再投资利率 = 第一年期末到第二年末的远期利率= f (1,2)
1 + f (1,2) = (1.0603)2/(1.0585) = 1.062103
f (1,2) = 1.0621 - 1
= 6.21%
和 $1.0585 (1.0621) = $1.1242.
远期利率与即期利率的关系 : 年利率

其他久期与凸度衡量指标
• 对传统债券可以利用到期收益率来衡量价值、久期、 凸度，对复杂的金融资产必须用收益率曲线来定价， 价值对收益率曲线变化的敏感度，即久期（一阶）与 凸度（二阶） ，作为我们衡量利率风险的指标。常用 的衡量指标有：
• 有效久期，有效凸度：价值对收益率曲线平行变化的敏感度。 • 关键利率久期：价值对收益率曲线上特定节点变化的敏感度。
3年
$1,000/[(1.08)(1.10)(1.11)]
4年
$1,000/[(1.08)(1.10)(1.11)(1.11)]
零息债券到期收益率（即期利率）
= $925.93 s1=[1.08] (1/1) -1
=8%
= $841.75 s2 = [(1.08)(1.10)](1/2)- 1
=8.995%
m
• e为自然对数底， e 2.7818 • 连续复利t年的复利因子er t • 实例: e0.08 = 1.0833, 与季度复利比较 (1.02)4 = 1.0824 • 用途：利率结构模拟时数学处理较为便利。 • 注意：连续复利，也就可以连续折现。
• 不管何种复利或折现方式，其包含的利率信息是等价的。 我们并且可以做相应的计算转化。如将半年年计息利率 转化为连续复利利率。
75.83 75.83
债券价值 100.000
期限结构理论
1) 期望理论: 远期利率 = 期望远期短期利率 2) 市场分割理论: 不同到期日的供求量 3) 流动偏好: 对于期限长的债券，短期投资者要求风险报酬
利率
远期利率 = 期望短期利率 + 常数
收益率为上升型
期望短期利率为常数
收益率曲线:期望短期利率为常数， 即风险溢酬为常数
2 f (2,3) = 11.0% B(0,3) = 0.75833 9.660%
3 f (3,4) = 11.0% B(0,4) = 0.68318 9.993%
远期利率 即期利率
12%
10%
8%
6%
0
1
2
3
债券偿付 $1,000:
到期日 价格
1年
$1,000/(1.08)
2年
$1,000/[(1.08)(1.10)]
= $758.33 s3 =[(1.08)(1.10)(1.11)] (1/3)
= 9.660%
= $683.18 s4 =[(1.08)(1.10)(1.11)(1.11)] (1/4) = 9.993%
收益率曲线
利率
典型的上斜型 收益曲线
典型的下倾型 收益曲线
利率
远期利率 零息债券收益率 付息债券收益率
10年期现金流的贴现因子为
B10

1
s10 2
20

0.5448
• 现金流现值 c0,c1,...,cn 为 PV c0B0 c1B1 ... cnBn
B0 1
即期利率计算方法
• 方法 1：直接观察法
直接观察零息债券（长期国债）利率价格
• 方法 2：间接构造法
2
94.88

100 1 s1
2
2
s1 5.32%
99.38
2.5 1 s0.5
1

2.5 1 s1 2

102.5 1 s1.5 3

s1.5 5.44%
2 2 2
100.89
3 1 s0.5

1
f (1, 2) B(0,1) 1 ; B(0, 2) B(0,1) 1
B(0, 2)
1 f (1, 2)
f (n, n 1)

(1 sn1 )n1 (1 sn )n
1

B(0, n) 1 ; B(0, n 1)
B(0, n 1) B(0, n)
1
1 f (n, n 1)
债券投资高级分析
债券分析原理复习
零息债券分析
即期利率，远期利率和票面债券收益率曲线
即期利率
• 即期利率=相应期限的零息债券收益率
• 例题:10年到期的零息债券，以 54.48报价交易.
那么10年期的即期利率 s10 为
1001 s10 20 54.48 2

s10 6.17 %
f (1,2) (1 s2 )2 1 (1 s1)
f (n, n 1)
(1 sn1)n1 (1 sn )n
1
f (n, n 1)

(1
sn 1 ) n1 1

1 (1 sn
)n


1


1 B(0, n

1)
B(0,
n)
s6
6

2

s6 5.8 %
即期利率的计算
• 方法 3 : 脱靴法
市场数据 6 个月票据
价格 97.44
1 年票据
价格 94.88
18个月债券 息票率 5% 价格 99.38
2 年债券 息票率 6% 价格 100.89
97.44

100 1 s0.5
1

s0.5 5.25%
$1投资额的两年期末的债券价值： $1(1+0.0603)2 = $1.1242 $1投资额的一年期末的债券价值：$1(1+0.0585) = $1.0585
一年期后需要以何种收益率回报再投资，才能使得在第二年末的价值与 一次性投入两年期的相同呢？
(1 + 0.0603)2 = (1 + 0.0585) [ 1 + f (1,2) ]

由两个不同息票但到期日相同的债券构造零息债券：
例：3年期, 5 % 的息票率，半年付息的长期国债 A 以
97.82交易； 3年期, 8 % 的息票率，半年付息的长期国
债 B 以 105.98交易。买入8个债券 A，卖空5个债券B
组合来构造面值300的零息债券，有
300

(8
97.82

5
105.98)1
P
{ 资本升值
资本损失{

P
{ 资本升值
资本损失 {

y1 y0 y2 收益率
y1 y0 y2 y0

y1 y0 y2 收益率
凸度 (3)
• 计算:
凸度
dP2 D Pdy2 y

1 P0
M t(t 1)PV (CFt )
t1
(1 y)t2
来源：零息债券收益曲线，当前市场远期利率 “平价债券收益率曲线”: 债券到期收益率等于票面收益率
来源：当前市场债券价格
远期利率
例题（复利）
1年零息债券收益率: s1 =5.85% ; B(0,1) = 1/(1.0585) = 0.944733 2年零息债券收益率: s2 =6.03% ; B(0,2) = 1/(1.0603)2 = 0.889493
到期日
付息债券收益率 零息债券收益率 远期利率
到期日
债券价格的确定
债券价值

T t 1
B(0, t)Ct
B(0,T )M

T t 1
1 (1 st )t
Ct

1 (1 sT )T
M
付息债券到期收益率
债券价值
T t 1
1 (1 y)t
Ct

1 (1 y)T
M

T t 1
1 (1 st )t
Ct

1 (1 sT )T
M
债券: 面值为$100, 3年期; 年付息 = 8.000%
T B(0,T)
sT
B(0,t)Ct B(0,3)$100
1
0.92593 8.00% 7.41
2
0.84175 9.00% 6.73
3
0.75833 9.66% 6.07