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2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2},B={x|(x –1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A .{–1,0} B .{0,1} C .{–1,0,1} D .{0,1,2}2、若a 为实数,且(2+ai)(a –2i)= – 4i ,则a=( ) A .–1 B .0 C .1 D .23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4、已知等比数列{a n } 满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A .21 B .42 C .63 D .845、设函数f(x)=⎩⎨⎧1+log 2(2–x)(x<1)2x –1(x≥1),则f(–2)+f(log 212)=( )A .3B .6C .9D .126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下左1图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A .B .C .D .7、过三点A(1,3),B(4,2),C(1,–7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则IMNI=( ) A .2 6 B .8 C .4 6 D .108、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a=( ) A .0 B .2 C .4 D .149、已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球上的动点,若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36,则球O 的表面积为( ) A .36π B .64π C .144π D .256π10、如上左3图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数,则y=f(x)的图像大致为( )A .B .C .D . 11、已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A . 5B .2C . 3D .212、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数,f(–1)=0,当x>0时,x f’(x)– f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A .(–∞,–1)∪(0,1)B .(,0)∪(1,+∞)C .(–∞,–1)∪(–1,0)D .(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行,向量λ a+b 与a+2b 平行,则实数 λ = .14、若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x –y+1≥0x –2y≤0x+2y –2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .16、设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=–1,a n+1=S n S n+1,则S n =________________. 三、解答题17、△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍.(1)求sinB sinC .(2)若AD=1,DC=22,求BD 和AC 的长.18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机抽查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C :“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立.根据所给的数据,以事件发生的频率作为响应事件的概率,求C 的概率19、如图,长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1、D 1C 1上,A 1E=D 1F=4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值.20、已知椭圆C :9x 2+y 2=M 2(m>0).直线l 不过圆点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.21、设函数f(x)=e mx +x 2–mx .(1)证明:f(c)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2 [–1,1],都有|f(x 1)–(x 2)|≤e –1,求m 的取值范围.22、[选修4—1:几何证明选讲]如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边的高AD 交于点G ,切与AB ,AC 分别相切与E ,F 两点. (1)证明:EF ∥BC ;(2)若AG 等于⊙O 的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF 的面积.23、[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎨⎧x=tcosαy=tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=23cosθ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值24、[选修4–5:不等式选讲]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明: (1)若ab>cd ,则a+b>c+d ;(2)a+b>c+d 是|a –b|<|c –d|的充要条件.2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案:A .∵(x –1)(x+2)<0,解得–2<x<1,∴B={x|–2<x<1},∴A∩B={–1,0}.2、答案:B .∵(2+ai)(a –2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ,∴a 2–4=–4,解得a=0.3、答案:D .由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.4、答案:B .∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21,∴1+q 2+q 4=7,整理得(q 2+3)(q 2–2)=0.解得q 2=2,∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42. 5、答案:C .∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3,()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log3log 2log 6226+===,∴f(–2)+f(log 212)=9.6、答案:D .如图所示截面为ABC ,设边长为a ,则截取部分体积为13S △ADC ·|DB|=16a 3, 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3a 3–16a 3=15.7、答案:C .由题可得⎩⎨⎧1+9+D+3E+F=010+4+4D+2E+F=01+49+D –7E+F=0,解得⎩⎨⎧D=–2E=4F=–20,所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0,令x=0,解得y=–2±26 所以|MN|=|–2+26–(–2–26)|=46. 8、答案:B .输入a=14,b=18.第一步a≠b 成立,执行a>b ,不成立执行b=b –a=18–14=4; 第二步a≠b 成立,执行a>b ,成立执行a=a –b=14–a=10; 第三步a≠b 成立,执行a>b ,成立执行a=a –b=10–4=6; 第四步a≠b 成立,执行a>b ,成立执行a=a –b=6–4=2; 第四步a≠b 成立,执行a>b ,不成立执行b=b –a=4–a=2. 第五步a≠b 不成立,输出a=2.选B .9、答案:C .设球的半径为r ,三棱锥O –ABC 的体积为V=13S △ABO ·h=13×12r 2h=16r 2h ,点C 到平面ABO 的最大距离为r ,∴16r 3=36,解得r=6,球表面积为4πr 2=144π.10、答案:B .由已知得,当点P 在BC 边上运动时,即0≤x≤π4时,PA+PB=tan 2x+4+tanx ; 当点P 在CD 边上运动时,即π4≤x≤3π4,x≠π2时,PA+PB=(1tan 2x –1)2+1+(1tan 2x +1)2+1,当x=π2时,PA+PB=22;当点P 在边DA 上运动时,即3π4≤x≤π时,PA+PB=tan 2x+4–tanx , 从点P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线x=π2对称,且f(π4)>f(π2),且轨迹非线性,故选B . 11、答案:D .设双曲线方程为x 2a 2–y 2b 2=1(a>0,b>0),如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MD ⊥x 轴,垂足为D .在Rt △BMD 中,|BD|=a ,|MD|=3a ,故点M 的坐标为M(2a,3a),代入双曲线方程得4a 2a 2–3a 2b 2=1,化简得a 2=b 2,∴e=c 2a 2=a 2+b 2a 2=2.故选D .12、答案:A .记函数g(x)=f(x)x ,则g'(x)=xf' (x)–f(x)x 2, 因为当x>0时,f'(x)–f(x)<0,故当x>0时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减; 又因为函数f(x)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(–∞,0)单调递减, 且g(–1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<–1时,g(x)<0,则f(x)>0, 综上所述,使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(–∞,–1)∪(0,1),故选A . 二、填空题13、答案:12.设λa +b =x(a +2b ),可得⎩⎨⎧λ=x 1=2x ,解得λ=x=12.14、答案:32.如图所示,可行域为△ABC ,直线y=–x+z 经过点B 时,z 最大.联立⎩⎨⎧x –2y=0x+2y –2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x=1y=12,所以z max =1+12=32.15、答案:3.(a+x)(1+x)4=(C 04a+C 14ax+C 24ax 2+C 34ax 3+C 44ax 4)+ (C 04x+C 14x 2+C 24x 3+C 34x 4+C 44x 5),所以C 14a+C 34a+C 04+C 24+C 44=32,解得a=3.16、答案:–1n .∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1,∴1S n –1S n+1=1.即1S n+1–1S n =–1,∴{1S n}是等差数列,∴1S n =1S 1–(n –1)=–1–n+1=–n ,即S n =–1n .三、解答题17、答案:(1)12;(2)|BD|=2,|AC|=1.(1)如图,由题意可得S △ABD =12|AB||AD|sin ∠BAD ,S △ADC =12|AC||AD|sin ∠CAD , ∵S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠DAC ,∴|AB|=2|AC|,∴sin ∠B sin ∠C =|AC||AB|=12. (2)设BC 边上的高为h ,则S △ABD =12|BD|·h=2S △ADC =2×12×22h ,解得|BD|=2,设|AC|=x ,|AB|=2x ,则cos ∠BAD=4x 2+1–24x ,cos ∠DAC=x 2+1–122x . ∵cos ∠DAC=cos ∠BAD ,∴4x 2+1–24x =x 2+1–122x ,解得x=1或x=–1 (舍去).∴|AC|=1.18、(1)如图所示.通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高, A 地区的分散程度大于B 地区.(2)记事件不满意为事件A 1,B 1,满意为事件A 2,B 2,非常满意为事件A 3,B 3.则由题意可得P(A 1)=420,P(A 2)=1220,P(A 3)=420,P(B 1)=1020,P(B 2)=820,P(B 3)=220,则P(C)=P(A 2)P(B 1)+P(A 3)(P(B 1)+P(B 2))=1220×1020+420×(1020+820)=1225. 19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系.由题意和(1)可得A(10,0,0),F(0,4,8),E(10,4,8),G(10,10,0),则向量AF =(–10,4,8),EF =(–10,0,0),EG =(0,6,–8).设平面EFHG 的一个法向量为n =(x,y,z),则⎩⎨⎧n ·EF =0n ·EG =0,即⎩⎨⎧–10x=06y –8z=0,解得x=0,令y=4,z=3,则n=(0,4,3).所以直线AF 与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF ,n >|=AF·n |AF||n|=16+24100+16+8416+9=225.20、(1)设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0),点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则M(x 1+x 22,y 1+y 22),联立方程⎩⎨⎧y=kx+b9x 2+y 2=m 2,消去y 整理得(9+k 2)x 2+2kbx+b 2–m 2=0(*),∴x 1+x 2=–2kb 9+k 2,y 1+y 2=k(–2kb 9+k 2)+2b=18b9+k 2, ∴k OM ·k AB =y 1+y 22x 1+x 22·k=18b 9+k 2·(–9+k 22kb )·k=–9.(2)假设直线l 存在,直线方程为y=kx+m(1–k)3,b=m(3–k)3.设点P(x P ,y P ),则由题意和(1)可得x P =x 1+x 2=–2kb 9+k 2,y P =y 1+y 2=18b9+k 2,因为点P 在椭圆上,所以9(–2kb 9+k 2)2+(18b 9+k 2)2=m 2,整理得36b 2=m 2(9+k 2),即36(m(3–k)3)2=m 2(9+k 2),化简得k 2–8k+9=0,解得k=4±7, 有(*)知△=4k 2b 2–4(9+k 2)(b 2–m 2)>0,验证可知k=4±7都满足.21、(1)∵f(x)=e mx +x 2–mx ,∴f'(x)=me mx +2x –m ,f''(x)=m2e mx +2≥0在R 上恒成立, ∴f'(x)=me mx +2x –m 在R 上单调递增.又∵f'(0)=0,∴x>0时,f'(x)>0;∴x<0时,f'(x)<0. ∴f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)有(1)知f min (x)=f(0)=1,当m=0时,f(x)=1+x 2,此时f(x)在[–1,1]上的最大值是2,所以此时|f(x 1)–f(x 2)|≤e–1. 当m≠0时,f(–1)=e –m +1+m ,f(1)=e m +1–m .令g(m)=f(1)–f(–1)=e m –e –m –2m ,∵g'(m)=e m +e –m –2≥0,∴g(m)=f(1)–f(–1)=e m –e –m –2m 在R 上单调递增. 而g(0)=0,所以m>0时,g(m)>0,即f(1)<f(–1).∴m<0时,g(m)<0,即f(1)<f(–1). 当m>0时,|f(x 1)–f(x 2)|≤f(1)–1=e m –m≤e–1,∴m≤1;当m<0时,|f(x 1)–f(x 2)|≤f(–1)–1=e –m +m≤e –m –(–m)≤e–1,∴–m≤1,∴–1≤m≤0. 所以,综上所述m 的取值范围是[–1,1]. 22、(1)如图所示,连接OE ,OF ,则OE ⊥AB ,OF ⊥AC ,即∠AEO=∠AFO=90°.∵OE=OF ,∴∠OEF=∠OFE ,∴∠AEF=90°–∠OEF ,∠AFE=90°–∠OFE ,即∠AEF=∠AFE .∵∠AEF+∠AFE+∠EAF=180°,∴∠AEF=∠AFE=12(180°–∠EAF).∵△ABC 是等腰三角形,∴∠B=∠C=12(180°–∠BAC),∴∠AEF=∠AFE=∠B=∠C ,∴EF ∥BC . (2)设⊙O 的半径为r ,∴AG=r ,OA=2r .在Rt △AEO 中,∴AE 2+EO 2=AO 2.∴(23)2+r 2=(2r)2,解得r=2.在Rt △AEO 中,sin ∠OAE=OE OA =r 2r =12.∴∠OAE=60°,∵∠OAE=∠OAF=12∠EAF ,AE=AF ,∴∠EAF=2∠OAE=60°,∴△AEF 、△ABC 是等边三角形.连接OM ,∴OM=2.∵OD ⊥MN ,∴MD=ND=12MN=3.在Rt △ODM 中,OD=OM 2–MD 2=22–(3)2=1,∴AD=OA+AD=4+1=5.在Rt △ADB 中,AB=AD cos ∠BAD =5cos30°=1033.∴四边形EBCF 的面积为S △ABC –S △AEF =34×(1033)2–34×(23)2=1633.23、(1)将曲线C 2,C 3化为直角坐标系方程C 2:x 2+y 2–2y=0,C 3:x 2+y 2–23x=0.联立⎩⎨⎧x=0y=0或(0,0),(32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ,其中0≤α<π.∵A 的极坐标为(2sinα,α),B 的极坐标为(23cosα,α).∴|AB|=|2sinα–23cosα|=4|sin(α–π3)|. 当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24、(1)由题意可得(a+b)2=a+b+2ab ,(c+d)2=c+d+2cd ,∵ab>cd ,∴ab>cd ,而a+b=c+d , ∴(a+b)2>(c+d)2,即a+b>c+d .(2)a+b>c+d ,即a+b+2ab>c+d+2cd ,∴ab>cd ,∴ab>cd ,∴–4ab<–4cd ,∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd ,∴(a –b)2<(c –d)2,∴|a –b|<|c –d|.。

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