第八讲二次根式的性质和运算趣题引路】甲、乙两人同时解根式方程7，抄题时，甲错抄成7，结果解得其根为127，结果解得其根为13.已知两人除错抄外，解题过程都是正确的.a、b、d均为整数，试求a、b的值.解答如下：将x=127=7，两边平方得49a b++=可知为非负整数，也为非负整数；将x=13代入7类似可得49a d-+=，得到及.因此12-a和13+a均为完全平方数且-13≤a≤12，故a=12或a=-4或a=-13，因此b=37或b=-3或b=-8.将错就错，倒求a，b！要求你对二次根式的性质和运算相当熟练，下面我们将深入学习这一内容.知识拓展】1.二次根式的性质和运算法则（1）2(0)a a=≥（2(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩（30,0,0)0)na b a ba≥≥≥>=≥2.二次根式的化简（1）主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是两种基本转换技能.（2）复合二次根式的化简通常有三种途径①平方法②配方法③待定系数法3.二次根式的大小比较主要途径有：平方法；求商法；有理化法；几何作图法等.一、二次根式的化简求值技巧二次根式的求值问题可归结为几种模式： 1.化成1x a x+=模式 例1（2001 年河北省竞赛题）已知：2=，那么的值等于 .解析：利用两边平方法将已知式变成12x x +=，同时变换待求式，使之出现1x x +部分，整体代入求值.解2=两边平方并整理得12x x+=.则： 原式11==.2.化成20ax bx c ++=模式例2 （2001年天津竞赛题）计算.2001200019991)1)1)2001--+= .解析：前三项可提取公因数20011)，为方便，可换元求值： 解 设x 1，则x -1 2220x x --=20012000199919992222001(22)20012001x x x x x x =--+=--+=原式3.例3（2002解析：设法把2写成某个数的平方，采取添项拆项法：221112(411)222⎡⎤+=+=+=⎣⎦+====解 原式 点评本题另解：设A ，两边平方，得2=6A，故A4.因式分解法例4（2002解析：直接分母有理化有困难，设法将分母分解因式.==解 原式5.分母有理化：这是根式运算的常见方法，而寻找有理化因式和巧妙运用乘法公式又是分母有理化的关键.例5+10099+99解析不难知原式中的第k 项是：===-故本题可用裂项求和的方法求解.(99910=-+-+++=解 原式6.利用二次根式的非负性解题例6 若mm 的值. 解析 由x -199+y ≥0，199-x -y ≥0知 x +y -199=0 ∴ x +y =199.0,= ① ∴352=023=0x y m x y m +--⎧⎨+-⎩③ ②③×2-②得x+y=m -2 ∴m =x +y +2=201.二、二次根式的大小比较 1.作商法：若ab<1，则a <b （a >0，b >0） 例7 （2002年希望杯初二）已知a b c ===，其中m >0，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a>b>c B . c>a>b C. a>c>b D .b>c>a解析33(1,2(a a b b =>∴> ∵()()()1332233<++++=m m m m c b ）（，∴b a <，()()1322333>++=mmc a ，∴c a > ∴a>c>b ，选C.2.平方法：若a >b >0，则a 2>b 2；反之亦成立（a>0，b >0）.例8设a b c ==，则a ，b ，c 间的大小关系是 . 解析 因为1003+997=2000，1001+999=2000，2×1000=2000，所以可采用平方法. 2100399720002000a =+=+=+解2100199920002000b =+=+=+2410002000c =⨯=+∴a2<b2< c2，而a>0，b>0，c>0，∴a<b<c.3.分子有理化例9 已知a=b=7，c=.则a，b，c的大小关系是 .解析若采用平方法很难分清它们的大小关系，此题的特征在于2-222221=-=-=，这就启发我们采用分子有理化的方法，然后比较分母的大小.解：1997a=b=，c==>∴a>b>c.点评：对于形如222-=(((2(-，就可采用分子有理化的方法来比较.好题妙解】佳题新题品味例1 设a、b、c为有理数，且等式a+成立，则2a+999b+1001c的值是（）A.1999B.2000C.2001D.不能确定解析先将复合二次根式化简，再利用实数的性质求解.+解526∴+，∴a=0，b=1，c=1，a∴2a+999b+1001c=0+999+1001=2000.故选B.例2 正数m、n满43+=的值.m n解析.解原方程变形为：43+-=m n2301)0 --==3 +1-（舍去）.3+时，原式3851320022005401--===-+例3解析31，30，29，28是四个连续正整数，而四个连续正整数的积与1之和是一个完全平方数.解设t=30，原式====21t t=--=302-30-1=869.例4 细心观察图8-1，认真分析各式，然后解答问题12222312=21314SSS+=+=+=图8-11A2A1∙∙∙（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+ S32+…+ S102的值.解析本题考察归纳、类比能力.注意第n个式子与式子中数字的关系，不变的数有1和分母里的2，变的是根号下的数.解（1）通过类比，可推知211n+=+这时1nS=（2）123101,2,3,,OA OA OAOA===∴=（3）222212310S S S S ++++222210()()()22155(123)4041==+++++++=+中考真题欣赏例1 （2002年广西壮族自治区桂林）观察下列分母有理化的计算：==，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：++1)= .解析 分母有理化，正负项相消可得. 解原式20021)=+1)200212001==-=点评：观察、分析，归纳方法：拆项相消.例2（武汉市2003年中考题）若b <0的结果是（ ） A .- B . C .- D .解析 由被开方数非负-ab 2≥0及b <0得a ≥0.b ===-.选C .例3（杭州市2003年中考题）解方程组512x y =+=⎪⎩解析 思考方向：将无理方程化为有理方程，两边平方太复杂，考虑换元. 解 u v ==，则解原方程组等价于解方程组 22513u v u v +=⎧⎨+=⎩解得1123u v =⎧⎨=⎩或2232u v =⎧⎨=⎩由23==，解得11210x y =⎧⎨=⎩； 由32= ，解得2275x y =⎧⎨=⎩经检验它们都是原方程组的解.例1（2003年全国初中联赛题）A . 5-B . 1C . 5D . 1 解析 复合二次根式的化简，将被开方数写成a 2的形式解 原式1)(31==+-= 选D .例2（2003年山东竞赛题）已知-1<a <0，化简：得 .解析 由-1<a <0知，1a a<得原式112()a a a a a==-+--=-例3（2003年希望杯初二）已知对于正整数n=，若某个正整数k23(1)k ++=+，则k = . 解析 拆项化简：2(1)()()32231k k ，即2131R ，解得k ＝8． 点评：从一般到特殊，吃透给定的等式是关键．例4（2001年希望杯初二）设a 、b 、c 均为不小于31|11|b c 的最小值是 ．解析 先弄清每一项的最小值． 解：∵a ≥3，∴a －2≥11． 又b ≥3，∴b ＋1≥42． ∵c ≥3，∴c －1≥22．∴|1＝1c －1≥1．1|11|b c ≥1＋21＝21|11|b c的最小值是2．例5（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003200320032003xy x y xy的正整数对的个数是（）A．1B．2C．3D．4解析将题中等式移项分解因式得，2003)(2003)0x y xy．又x、y是正整数，20030x y．∴02003=-xy，故xy＝2003，因式分解是转化问题的重要∴x＝1，y＝2003；或x＝2003，y＝1，故选B．点评因式分解是转化问题的重要手段．过关检测】A级1．如果23322y x x，则2x＋y＝．2．设2121,2121x y，则22x xy y＝．3.2001y的整数解（）A.不存在 B.仅有1组C.恰有2组D.至少有4组4.423423.5.3)(1)()(2)()(3)(2)2x y z y z x z x y x y z 的正实数解.B 级1. 325.2.（第十一届“希望杯”数学邀请赛）当1≤x ≤22121x x x x .3.222211711x x x x = .4.计算73（）= .5.1a = .6.设，求代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值.7.已知a、b是实数，且22a b b，问a、b之间有怎样的关系？请推导.)(1)18.设a、b、c、d为正实数，a<b，c<d，bc>ad，有一个三角形的三边长分别为222222c bd b a d c，求此三角形的面积.,,()()。