复合函数的性质与图象深圳中学 许苏华中学数学教材中会系统介绍一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象与性质，但不会系统讲述形如的图象与性质，其中和是基本初等函数，我们称或为复合函数.对于复合函数，我们称对应的为外函数，为内函数.此文中的外函数和内函数也有非基本初等函数的，即不是中学数学教材中系统介绍的基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数，与基本初等函数一起，统称为初等函数.与复合函数有关的数学题会经常出现在我们面前，而且难度较大，为了使得我们不再畏惧，也使得我们解题能力、数学核心素养都得以提升，因此把复合函数及其相关难点加以研究，是非常必要的，也是非常有价值的.类比于教材研究基本初等函数的过程，我们尝试理清复合函数的图象与性质.当一个函数图象是我们见过的或者容易用描点法画出来的时候，我们可以先研究函数图象，再研究函数性质.当一个函数图象没有见过时，或者很难通过几个点完整画出来时，其实我们可以先研究函数性质，通过其性质还原其图象，再根据图象，猜想并证明新的性质.研究复合函数的图象与性质，我们可采取第二种路径.选择几个最简的最美的基本初等函数，如、、，用于复合，以期以点带面.，两个基本初等函数复合竟然是一个更简单的基本初等函数，因此后面我们只研究、、和这四个及其类似的复合函数.一、函数的性质与图象1. 定义域和值域(())y f g x =()y f x =()y g x =(())y f g x =(())y g f x =(())y f g x =()y f x =()y g x =ln y x =x y e =22y x x =+ln ln x x y e e x ===2ln(2)y x x =+()2ln 2ln y x x =+22x x y e +=22x x y e e =+2ln(2)y x x =+内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.要使复合函数的解析式有意义，则，从而求得复合函数的定义域为，值域为.如果内函数为，定义域是，值域则为，可见此时值域是外函数定义域的真子集，因此复合函数始终有意义，则复合函数的定义域依然是，值域为.如果内函数为，定义域为，值域与外函数定义域是相等集合，因此复合函数的定义域为，值域为. 通过上述三个例子，可以发现内函数的定义域决定了内函数的值域，内函数的值域与外函数的定义域决定了复合函数的定义域，再由复合函数的定义域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为，定义域没有关于原点对称，因此该复合函数为非奇非偶函数.复合函数的定义域为，也是非奇非偶函数.虽然复合函数的定义域是，记，则，则不是奇函数，，举特殊值可以发现并不恒成立，所以也不是偶函数，因此复合函数亦是非奇非偶函数.难道就没有外函数是的复合函数是奇函数或者偶函数吗？形如22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+220x x +>(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞[ln 2,)+∞y =(0,)+∞(0,)+∞ln y x=lny =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U lny =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞2()ln(23)h x x x =++(0)0h ≠2()ln(23)h x x x -=-+()()h x h x -=2ln(23)y x x =++ln y x =的复合函数，其中，或者，易证此复合函数为偶函数.形如的复合函数，利用对数的运算性质化简，并记为，易证，因此复合函数为奇函数.证明一个函数是奇函数或偶函数，首先要说明定义域是关于原点对称，再证明在定义域内，对于任意，都有或，则是偶函数或奇函数.如果证明一个函数是非奇非偶函数，则首先判断定义域是否关于原点对称，如果不是，则为非奇非偶函数.如果定义域关于原点对称，则可以举反例，说明并不恒成立，或者直接证明.3. 单调性我们再来研究复合函数的单调性，它的定义域为，内函数在上单调递减，在上单调递增，而外函数在整个定义域内单调递增，根据众所周知的“同增异减”，因此在上单调递减，在上单调递增. 为什么“异减”？令，由在上单调递减可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递减.内函数递减时，外函数递增，复合函数递减，因此“异减”.为什么“同增”？令，由在上单调递增可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递增.内函数递增时，外函数递增，复合函数递增，因此“同增”.判断复合函数单调性的“同增异减”法，其实都可以用定义法解释.如果能够2ln()y ax c =+0ac <00a c >>且2ln(1)x y x =+2()ln(1)h x x x =+()()h x h x -=-2()ln(1)h x x x =+()f x x ()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x ()()f x f x -=±()()0f x f x -±≠2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U 22y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(2)y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞122x x <<-22y x x =+(,2)-∞-221122220x x x x +>+>ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +>+2ln(2)y x x =+(,2)-∞-120x x <<22y x x =+(0,)+∞221122022x x x x <+<+ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +<+2ln(2)y x x =+(0,)+∞用定义法证明复合函数单调性，并能用“同增异减”法直接说明复合函数单调性，这样才是知其然知其所以然.4. 图象通过上述研究发现，复合函数的定义域为，值域为，非奇非偶函数，在上单调递减，在上单调递增.再根据几个特殊值、1的正负性，以及当自变量由大到小靠近于0时，或者当由小到大靠近于时，函数值都趋于，由此可以判断出函数图象大致如下图图1所示：图1至此，复合函数的性质与图象，我们基本理清楚.而且我们还发现，该函数图象关于直线自对称.二、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.因此复合函数的定义域为，值域也是. 如果内函数为，相当于的图象在平面直角坐标系中向下2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞(,2)-∞-(0,)+∞3-x x 2-y -∞2ln(2)y x x =+1x =-()2ln 2ln y x x =+ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞ln 100y x =-ln y x =平移了100个单位得到的图象对应的函数，可见的定义域依然为，值域依然为.那么复合的定义域依然为，值域依然是.如果内函数为，相当于的图象在平面直角坐标系中向左平移了2个单位得到的图象对应的函数，易得的定义域为，值域则依然为.那么复合的定义域为，值域则依然是.综上，可以发现，只要内函数的值域为，那么该类复合函数的值域就是，定义域则与内函数的定义域相同.2. 奇偶性因为复合函数的定义域为，所以为非奇非偶函数.对于任何一个非奇非偶函数，其实我们都很容易把它改造成偶函数，比如对解析式中的所有加绝对值符号，即此时函数为.其实，我们也很容易把它改造成奇函数，比如这个分段函数 3. 单调性内函数整个定义域内单调递增，外函数在上单调递减，在上单调递增，此时根据“同增异减”，你或许一头雾水.令（内函数因变量等于外函数的单调区间分界值），解得，其实我们可以考虑和这两个区间.当时，则ln 100y x =-(0,)+∞(,)-∞+∞2(ln 100)2(ln 100)y x x =-+-(0,)+∞[1,)-+∞ln(2)y x =+ln y x =ln(2)y x =+(2,)-+∞(,)-∞+∞2(ln(2))2ln(2)y x x =+++(2,)-+∞[1,)-+∞(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞x 2(ln )2ln y x x =+22(ln )2ln ,0,0,0,(ln())2ln(),0.x x x y x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪----<⎩ln y x =(0,)+∞22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞ln 1x =-1x e =1(0,)e 1(,)e +∞1210x x e<<<，则，因此复合函数在上单调递减.此时内函数为增函数，外函数为减函数，则“异减”.当时，则，则，复合函数在上单调递减.内函数为增函数，外函数为增函数时，则“同增”.用“同增异减”法判断此类复合函数的单调性时，需要注意复合函数的定义域，以及内函数的值域与外函数的单调区间的对应.4. 图象复合函数的定义域为，值域是，在上单调递减，在上单调递减.并根据几个特殊值，1对应的函数值，以及当自变量由大到小靠近于0时，函数值趋于，由此确定复合函数的图象如下图图2所示：图2可以发现复合函数的图象是个非常漂亮的“V ”字.12ln ln 1x x <<-221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +>+()2ln 2ln y x x =+1(0,)e121x x e<<121ln ln x x -<<221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +<+()2ln 2ln y x x =+1(,)e +∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞1(0,)e1(,)e +∞1ex y +∞()2ln 2ln y x x =+()2ln 2ln y x x =+三、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.复合函数的定义域为，值域为. 如果内函数改为，定义域依然为，值域为.复合函数的定义域仍为，值域为.如果内函数为，定义域为，值域为.复合函数定义域为，值域则为.综上，外函数为的复合函数的定义域，和内函数的定义域相同，并由内函数的值域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为，现在还不能确定是否为非奇非偶函数.但是根据上述值域的确定过程中发现，当时，复合函数取得最小值，可见复合函数的图象不可能关于轴对称，也易发现没有关于原点中心对称，因此它为非奇非偶函数.对于复合函数，因为定义域为，且，所以为偶函数.对于复合函数，由可知，为非奇非偶函数. 综上，外函数为的复合函数的奇偶性，和内函数的奇22x x y e +=22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞223x x y e ++=(,)-∞+∞2[,)e +∞y =(0,)+∞(0,)+∞y =(0,)+∞(1,)+∞x y e =()g x y e =()y g x =()g x y e =22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞1x =-22x xy e +=22x x y e +=y 2x y e =(,)-∞+∞22()x x e e -=2x y e =3x y e =33()1x x e e -=3x y e =x y e =()g x y e =()y g x =偶性存在关联，如果内函数是偶函数，那么复合函数是偶函数，如果内函数不是偶函数，则复合函数则为非奇非偶函数.3. 单调性外函数是增函数，而内函数在上单调递减，在上递增.对于复合函数，我们讨论和两个区间上的单调性.令，则，则，因此在上单调递减.这里外函数是增函数，内函数是减函数，根据“异减”，则复合函数为减函数.令，则，则，因此在上单调递增.这里外函数是增函数，内函数是增函数，根据“同增”，则复合函数为增函数.4. 图象由上述分析知复合函数的定义域为，值域为，可以发现图象与轴没有交点.在上单调递减，在上单调递增.同时当时，.可以确定图象如下图图3所示.()y g x =()g x y e =()y g x =()g x y e =x y e =22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞121x x <<-221122221x x x x +>+>-221122221x x x x e e e ++->>22x x y e +=(,1)-∞-121x x -<<221122122x x x x -<+<+221122221x x x x e e e ++-<<22x x y e +=(1,)-+∞22xx y e +=(,)-∞+∞1[,)e +∞x 22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞0x =1y=图3根据复合函数的图象，我们还能猜想并证明直线是其图象的对称轴.该图象而且很像一个“U ”字.四、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.复合函数的定义域为，值域为.2. 奇偶性，因此复合函数为非奇非偶函数. 3. 单调性内函数是增函数，外函数在上单调递增，那么在当然也单调递增，根据“同增”，从而复合函数为增函数.4. 图象根据前面的性质分析，可以得到如下图图4所示的图象：22x x y e +=1x =-22x x y e e =+x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞22x x y e e =+(,)-∞+∞(0,)+∞22122x x x x e e e e--+=+22x x y e e =+x y e =22y x x =+(1,)-+∞(0,)+∞22x x y e e =+图4研究复合函数的值域，也就是研究它的最大值和最小值，如果最大值不存在，或最小值不存在，那么值域对应着开区间或者无穷大.求得复合函数的定义域和值域，要考虑内外函数的定义域和值域.确定奇偶性要根据函数的定义域是否关于原点对称，以及在定义域关于原点对称的情况下，对于定义域中任意都有或者，来判断是否偶函数、奇函数还是非奇非偶函数.对于单调性，首先要确定所有的单调区间，这里依据内函数单调区间的边界值，以及内函数函数值与外函数单调区间边界值相等，求得新边界值，根据所有边界值，对复合函数的定义域进行划分，然后依据“同增异减”法或者定义法，判断或证明单调性.根据定义域和值域，奇偶性，单调性，以及特殊点的坐标，从而较为准确地确定复合函数的图象，再根据图象，猜想并证明一些新的结论性质.x (())(())f g x f g x -=(())(())f g x f g x -=-11。