专题升级训练分类讨论思想
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|<a,x∈R},若A⊇B,那么a的取值范围是()
A.0≤a≤1
B.a≤1
C.a<1
D.0<a<1
2.定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为()
A.0
B.6
C.12
D.18
3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为()
A. B.4 C. D.4
4.若方程=1表示双曲线,则它的焦点坐标为()
A.(k,0),(-k,0)
B.(0,k),(0,-k)
C.(,0),(-,0)
D.由k的取值确定
5.如果函数f(x)=a x(a x-3a2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是()
A. B. C.(1,] D.
6.设0<b<1+a.若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,则()
A.-1<a<0
B.0<a<1
C.1<a<3
D.3<a<6
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是.
8.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.
9.已知f(x)=log a[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是.
三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10.(本小题满分18分)已知集合A={x|10+3x-x2≥0},B={x|m+1≤x≤2m-1},如果A∩B=⌀,求m的取值范围.
11.(本小题满分18分)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.讨论函数f(x)的单调性.
12.(本小题满分16分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
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一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1.B解析:当a≤0时,B=⌀,满足B⊆A;
当a>0时,欲使B⊆A,则⇒0<a≤1.
综上得a≤1.
2.D解析:当x=0时,z=0;当x=1,y=2时,z=6;
当x=1,y=3时,z=12.故和为18.
3.D
4.D解析:若焦点在x轴上,则
即k>4,且c=.
若焦点在y轴上,则
即k<-4,且c=,故选D.
5.B解析:令a x=t,则y=t2-(3a2+1)·t,
对称轴t=-.
①若0<a<1,则0<a x≤1.
欲使x∈[0,+∞)时f(x)递增,只需≥1.
即3a2+1≥2,即a2≥.
∴a≥或a≤-(舍去).∴≤a<1.
②当a>1时,a x>1不满足题设条件,故选B.
6.C解析:原不等式转化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.
①a≤1,结合不等式解集形式知不符合题意.
②a>1,此时-<x<,由题意0<<1,
要使原不等式解集中的整数解恰有3个,
知-3≤-<-2.
整理得2a-2<b≤3a-3.
结合题意b<1+a,有2a-2<1+a.
∴a<3,从而有1<a<3.故选C.
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7.解析:∵x∈(-1,0),
∴0<x+1<1.
要使f(x)>0,得0<2a<1,∴0<a<.
8.0≤m≤解析:当m=0时,y=x+5在[-2,+∞)上是增函数;当m≠0时,y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,必须满足⇒0<m≤,
综上所述,m的取值范围应为0≤m≤.
9.1<a<3解析:记u=(3-a)x-a,
当1<a<3时,y=log a u在(0,+∞)上为增函数,
u=(3-a)x-a在其定义域内为增函数,
∴此时f(x)在其定义域内为增函数,符合要求.
当a>3时,y=log a u在其定义域内为增函数,
而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数,
∴此时f(x)在其定义域内为减函数,不符合要求.
当0<a<1时,同理可知f(x)在其定义域内是减函数,不符合题目要求.
三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10.解:解不等式10+3x-x2≥0,
得A={x|-2≤x≤5}.
由A∩B=⌀,有
①B=⌀,即2m-1<m+1,解得m<2;
②此时无解;
③解得m>4;
综上可知m>4或m<2.
11.解:f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=x-a+.
①若a-1=1,即a=2,则f'(x)=.
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②若a-1<1,而a>1,故1<a<2,
则当x∈(a-1,1)时,f'(x)<0;
当x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增.
③若a-1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.
12.解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意有解得
∴b=1.∴所求椭圆方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
①当AB⊥x轴时,|AB|=.
②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.
故,得m2=(k2+1).
把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
=(1+k2)
=
==3+(k≠0)
=3+≤3+=4.
当且仅当9k2=,即k=±时等号成立.
当k=0或不存在时,|AB|=.
综上所述,|AB|max=2.
∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值S=×|AB|max×.。