2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)（北京卷）本试卷共5页，150分钟。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题40分）一、选择题共8题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项 （1）已知复数z=i+2，则z ·−z =(A) √3(B) √5(C) 3(D) 5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 4（3）已知直线方程的参数方程为{x =1+3ty =2+4t（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是(A) 15(B) 25(C) 45(D) 65（4）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的离心率为12，则(A) a 2=2b 2(B) 3a 2=4b2(C) a=2b(D) 3a=4b（5）若x,y 满足｜x ｜≤1-y ，且y ≥-1,则3x+y 的最大值为(A) -7 (B) 1 (C) 5(D) 7(6)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2，其中星等为m 1的星的亮度为E 1(k=1，2)。

已知太阳的星等是-26.7，天复星的星等是-1.45，则太阳与天袋星的亮度的比值为(A) 1010.1(B) 10.1 (C) lg10.1 (D) 10-10.1(7)设点A,B,C 不共线，则“AB ̅̅̅̅与AC ̅̅̅̅的夹角为锐角”是“｜AB ̅̅̅̅+AC ̅̅̅̅｜>｜BC̅̅̅̅｜"的 (A)充分不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2=1+｜x ｜y 就是其中之一(如图),给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点) ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3 其中，所有正确结论的序号是 (A)①(B)②(C)①②(D)①②③第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) 函数()x x f 2sin 2=的最小正周期是 。

(10) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若32-=a ，105-=S ，则=5a 。

n S 的最小值为 。

(11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示。

如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 。

(12) 已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①m l ⊥；②α//m ；③α⊥l 。

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 。

(13) 设函数f （x ）=e x +a e −x (a 为常数)。

若()x f 为奇函数，则=a ；若()x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 。

(14) 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。

价格依次为60元/盒、65元/盒，80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%。

① 当10=x 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）在ABC ∆中，3=a ，2=-c b ，21cos -=B 。

（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求()C B -sin 的值.（16）（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 平面⊥,CD AD ⊥,//BC AD ,2===CD AD PA ,3=BC 。

E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且31=PC PF （Ⅰ）求证：PAD CD 平面⊥； （Ⅱ）求二面角P AE F --的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且32=PB PG ．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。

近年来，移动支付己成为主要支付方式之一。

为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付方式支付金额（元）](1000,0](2000,1000大于2000 仅使用A18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元。

根据抽査结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。

（18）（本小题14分）已知抛物线py x C 2:2-=经过点)(1,2-（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1-=y 分别交直线OM ，ON 于点A 和点B 。

求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点。

（19）（本小题13分）已知函数()x x x x f +-=2341。

（Ⅰ）求曲线()x f y =的斜率为l 的切线方程； （Ⅱ）当][4,2-∈x 时，求证：()x x f x ≤≤-6；（Ⅲ）设()())()(R a a x x f x F ∈+-=，()x F 在区间][4,2-上的最大值为()a M 。

当()a M 最小时，求a 的值。

（20）（本小题13分）已知数列}{n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、…第m i 项)＜...＜＜(21m i i i ，若m i i i a a a ＜...＜＜21，则称新数列1i a ，2i a ，...，m i a 为}{n a 的长度为m 的递增子列。

规定：数列}{n a 的任意一项都是}{n a 的长度为1的递增子列。

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列}{n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a 。

若q p ＜，求证：0m a ＜0n a ；（Ⅲ）设无穷数列}{n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若}{n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为12-s ，且长度为s 末项为12-s 的递增子列恰有12-s 个,...)2,1(=s ，求数列}{n a 的通项公式。

2019北京高考数学参考答案一、选择题二、填空题（9）π2；（10）0；-10；（11）40（12）若l⊥m, l⊥α，则l⊥α（答案不唯一）（13）-1；a≤0；（14）①130；②15；三、解答题（15）①cosB=a 2+c2−b22ac=−12则9+c 2−(c+2)26c=−12解得b=7,c=5②∵cosB=−12∴sinB=√32又∵cosC=a 2+b2−c22ab=1114∴sinC=5√314∴sin(B−C)=sinBcosC−cosBsinC=4√37（16）①∵PA⊥面ABCD，且CD⊂面ABCD∴PA⊥CD又∵CD⊥AD，且PA∩AD=A∴CD⊥面PAD②如图建立平面直角坐标系P（0，0，2），D（0，2，0），E（0，1，1），C（2，2，0），F（23，23，43）故AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（23，23，43） 由图可知取面PAE 法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0) 设n 2⃗⃗⃗⃗ =（x,y,z ）是面AEF 的法向量∴{n 2⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{0+y +z =023x +23y +43z =0，取{x =1y =1z =−1∴n 2⃗⃗⃗⃗ =（1，1，−1）Cos<n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗ ∙n 2⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗ |∙|n 2⃗⃗⃗⃗ |=√33经检验，二面角F-AE-P 的余弦值是√33③B （2，-1，0），P （0，0，2），G （43，−23，23）∴AG⃗⃗⃗⃗⃗ =（43，−23，23） 由②知n 2⃗⃗⃗⃗ =（1，1，−1） ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0，即AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ 又∵A ⊂面AEF ∴AG ⊂面AEF（17）①0.4②P （X=0）=0.24 P （X=1）=0.52 P （X=2）=0.24故随机变量X 的分布列为：③不能样本数量过小，不具有代表性（18）①将（2，-1）代入抛物线方程，可得：4=2P ，∴P=2，∴抛物线C 的方程为：x 2=−4y ,准线方程为：y=1.②证明：∵抛物线的焦点为（0，-1），∴设过焦点的直线l:y=kx-1,（k ≠0） 联立{y =kx −1x 2=−4y ，得到x 2+4kx −4=0设直线l 与抛物线的交点为M (x M ，−x M 24)，N （x N ，−x N 24）则x M +x N =−4k, x M x N =−4 ∵直线OM 的方程为：y =−x M 4x ，直线ON 的方程为：y =−x N 4x∴A （4x M，−1），B （4x N，−1）∵12(4x M+4xN)=2(x M +x N ) x M x N=2k∴A 、B 中点O ’为（2k,-1）AB =|4x M −4x N|=4|x M −x N || x M x N |=√(x M −x N )2=√(x M +x N )2−4 x M x N =√16k 2+16=4√k 2+1 ∴半径r =2√k 2+1∴以AB 为直径的圆的方程为：（x −2k ）2+(y +1)2=4k 2+4 当x=0时，4k 2+(y +1)2=4k 2+4，∴y 1=1,y 2=−3, ∴圆与y 轴交点为（0，1）与（0，-3），即过y 轴上两个定点（19）①f ′(x )=34x 2−2x +1,由题意f ′(x )=1，∴34x 2−2x +1=1，解得：x 1=0,x 2=83∵f(0)=0,f(83)= 827，∴对应的切点为（0，0）或（83，827）， ∴切线方程为：y=x 或y=x-6427②证明：设g(x)=f(x)-x ，则g （x ）=14x 3-x 2， ∵g ’(x)= 34x 2−2x ，∴当x ∈[-2,0)时g ’(x)>0, g(x)单调递增； 当x ∈（0，83)时g ’(x)<0, g(x)单调递减；当x ∈（83,4]时，g ’(x)>0, g(x)单调递增∵g(-2)=-6,g(0)=0,g(83)=- 6427，g(4)=0∴X ∈[-2,4]时，g(x) ∈[-6,0], 即-6≤f(x)-x ≤0，∴x-6≤f(x)≤x ③F (x )=|g (x )−a |,∵g (x )∈[−6,0] ∴取F （0）=|−a |, F （-2）=|−6−a |,∴F （0）+F （-2）≥|−a −(−6−a)|即F （0）+F （-2）≥6，当−a −(−6−a )≤0时取等， ∴2M （a ）≥F （0）+ F （-2）≥6，∴M （a ）≥3,当M （a ）= F （0）= F （-2）时取等， ∴-a=6+a,∴a=-3，此时符合题意（20）（I ）解：例如数列：1，3，5，6（答案不唯一）。